Преглед на кодот на Ајнштајнови равенки за полето


'''Ајнштајнови равенки за поле''' ('''АРП'''; исто така познати како "'''Ајнштајнови равенки'''") се состојат од множество од 10 равенства во општата теорија на релативноста на [[Алберт Ајнштајн]] кои го опишуваат основното заемнодејство на [[Гравитација|гравитацијатa]] како резултат на закривувањето на [[Време-простор|време-просторот]] поради [[Маса (физика)|масата]] и [[Енергија|енергијата]].<ref name="ein">{{cite journal |last=Einstein |first=Albert|title=The Foundation of the General Theory of Relativity |journal=Annalen der Physik|volume=354 |issue=7 |pages=769 |year=1916 |publisher= |url=http://www.alberteinstein.info/gallery/science.html |doi=10.1002/andp.19163540702 |format=PDF |id= |accessdate= |bibcode=1916AnP...354..769E |archive-url=https://web.archive.org/web/20120206225139/http://www.alberteinstein.info/gallery/gtext3.html |archive-date=2012-02-06}}</ref>Првпат објавени од стрна на Ајнштајн во 1915 година како [[тензорска равенка]],<ref name="Ein1915">{{cite journal |last=Einstein |first=Albert|date=November 25, 1915 |title=Die Feldgleichungen der Gravitation |journal=Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin |pages=844–847 |url=http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView?url=/permanent/echo/einstein/sitzungsberichte/6E3MAXK4/index.meta |accessdate=2017-08-21}}</ref> АРП може да се надоврзат со месната ''{{vanchor|време-просторна [[закривеност]]|}}'' (изразена од [[Ајнштајнов тензор|Ајнштајновиот тензор]]) со месната енергија и [[импулс]]от во тој време-простор (изразен преку [[енергетско-импулсен тензор|енергетско-импулсниот тензор]]).{{sfnp|Misner|Thorne|Wheeler|1973|p=916 [ch. 34]}}

Слично како и кај  [[Електромагнетно поле|електромагнетните полиња]] кои се одредени користејќи [[Полнеж (физика)|полнеж]] и [[Електрична струја]] преку [[Максвелови равенки|Максвеловите равенки]], АРП се користи да се одреди време-просторот како резултат од присуството на маса-енергија и линеарен момент ,т.е тие го одредуваат [[Метрички тензор|метричкиот тенсор]] на времепросторот за дадена енергија во времепросторот. Врската помеѓу Метричкиот тенсор и Ајнштајновиот тенсор дозволува АРП да биде напишан како збирнелинеарни [[Парцијална диференцијална равенка|парцијално диференцирани равенки]] користејќи ги на овој начин. Решенијата на ЕФЕ се компненти на метричкиот тенсор. 

Како и почитувајќи го локалниот енергетски моментум, АРП се подразбира и за [[Њутнов закон за гравитацијата|Њутновиот закон за гравитација]] каде гравитационото поле е многу слабо и брзините се многу помали од [[брзината на светлината]].<ref name="Carroll">{{cite book |last=Carroll |first=Sean |authorlink=Sean M. Carroll |year=2004 |title=Spacetime and Geometry – An Introduction to General Relativity |pages=151–159 |isbn=0-8053-8732-3}}</ref>

Истите решенија за ЕФЕ може да бидат најдени само во упростувања на претпоставки, како [[Времепросторски симетрии|симетрија]]. Специјални класи на [[Идентични решенија во генералната релативност|идентични решенија]] се многу често проучувани бидејќи покажуваат многу гравитациони феномени, како на пример [[ротациони црни дупки]] и [[Метричната експанзија на просторот|проширувањето на универзумот]]. Понатамошн упростувањa се достигнуваa со изедначување на времепросторот како [[Минковскиев простор|рамен време-простор]] со мала девиација, водејќи до  [[Линеаризирана гравитација#%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%20%D0%90%D1%98%D0%BD%D1%88%D1%82%D0%B0%D1%98%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8%20%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B8%20%D0%B7%D0%B0%20%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D1%82%D0%BE|линеаризирани АРП]]. Овие равенки се користат за проучување феномени какп [[гравитациони бранови]].

==Математички облик==
{{Време-простор|cTopic=Математика}}
Ајнштајновите равенки за поле може да бидат запишани во оваа форма:<ref name="ein"/>

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math>R_{\mu \nu} - {1 \over 2}R \, g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu}= {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu}</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}

каде <math>R_{\mu \nu}\,</math> е [[Рицов искривен тенсор]], <math>R\,</math> е [[скаларно искривувње]], <math>g_{\mu \nu}\,</math> е [[метрички тенсор(генерална релативност)|метрички тенсор]], <math>\Lambda\,</math> е [[космолoшка константа]], <math>G\, </math> е [[гравитациона константа|Њутнова гравитациона константа]], <math>c\,</math> е [[брзината на светлината]] во вакум, и <math>T_{\mu \nu}\,</math>  [[стрес-енергетски тенсор]].
ЕФЕ е  [[тенсор]] равенка важејќи како сет од [[симетричен тенсор|симетрилни 4x4 тенсори]]. Секој тенсор има 10 самостојни компоненти.  Четирите [[Бијанки идентитети]] го намалуваат бројот на независни равенки од 10 на 6, оставајќи го метричниот со 4 [[Гауж поправање]] [[Степени на слобода (физика и хемија)|степени на слобода]], кој коореспондира со слободата да се одбере координатен систем.

Иако Ајнштајновите равенки за поле првично биле формулирани во контекст на 4 димензионална теорија, некои теоретичари ги истражувале последиците на  ''н'' димензиите. Равенките кои се надвор од генералната релативност се уште се поврзуваат со Ајнштајновите равенки за поле. Вакумско поле равенки (овозможени кога ''T'' е еднакво на 0) го дефинираат [[Ајнштајновиот манифолд]].
Занемарувајќи го лесниот,првичен изглед на равенките,тие се комплицирани. Зададен специфичен придонес од маса и енергија во форма на стрес-енергетски тенсор,ЕФЕ се подразбира да е равенки за метрички тенсор <math>g_{\mu \nu}</math>, како Рицов тенсор и  скаларно искривување во зависност од од метричноста е комплициран нелинеарен проблем.

Eдниот може да го пишува ЕФЕ во компактна форма со дефинирање на [[Ајнштајновиот тенсор]]
:<math>G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - {1 \over 2}R g_{\mu \nu},</math>

kој е симетричен втор ранк тенсор. ЕФЕ може да биде запишан како:
:<math>G_{\mu \nu} + g_{\mu \nu} \Lambda = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu}.</math>

Во стандардните единици, секој термин од лево има единица од 1 / должина<sup>2</sup>. Со овој избор на [[Ајнштајнова константа|Ајнштајновата константа]] како 8πG / c<sup>4</sup>, тогаш стрес-енергетскиот тензор на десната страна на равенката мора да биде напишан со секоја компонента во единиците на енергетската густина (односно, енергијата по волумен = притисок).

Користејќи [[геометризирани единици]] каде ''G = c = 1'', од тука може да се запише како:

:<math>G_{\mu \nu} + g_{\mu \nu} \Lambda = 8 \pi T_{\mu \nu}\,.</math>

Изразот лево ја претставува кривината на [[Време-простор|време-просторот]] како што е одредено од метриката; изразот од десната страна ја претставува содржината на материјата / енергијата во просторот. ЕФЕ потоа може да се толкува како збир на равенки што диктираат како материјата / енергијата ја одредува заобленоста на времето во време-просторот.

Овие равенки, заедно со [[Геодетска равенка|геодетската равенка]], која диктира како слободното паѓање на материјата се движи низ време-просторот, го формираат јадрото на математичката формулација на [[Општа теорија за релативноста|општата теорија на релативноста]].

===Значно означување===
Горе наведената форма на ЕФЕ е стандардна и воспоставена од [[Гравитациона (книга)|Мизнер, Торн и Вилер]].<ref>{{harvnb|Misner|Thorne|Wheeler|1973}}</ref> Авторите ги анализирале сите конвенции што постоеле и ги класифицирале според три знаци (S1, S2, S3):

:<math>
\begin{align}
g_{\mu \nu} & = [S1] \times \operatorname{diag}(-1,+1,+1,+1) \\[6pt]
{R^\mu}_{\alpha \beta \gamma} & = [S2] \times (\Gamma^\mu_{\alpha \gamma,\beta}-\Gamma^\mu_{\alpha \beta,\gamma}+\Gamma^\mu_{\sigma \beta}\Gamma^\sigma_{\gamma \alpha}-\Gamma^\mu_{\sigma \gamma}\Gamma^\sigma_{\beta \alpha}) \\[6pt]
G_{\mu \nu} & = [S3] \times {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu}
\end{align}
</math>
Третиот знак горе е поврзан со изборот на конвенција за Рицовиот тенсор:
:<math>R_{\mu \nu}=[S2]\times [S3] \times {R^\alpha}_{\mu\alpha\nu} </math>

Со овие дефиниции [[Гравитациона (книга)|Мизнер, Торн и Вилер]] се класифицираат самите како <math>(+++)\,</math>, каде што Вајнберг (1972)<ref>{{harvnb|Weinberg|1972}}</ref> е <math>(+--)\,</math>, Пебелс (1980) и Ефстатиу (1990) (− + +) , Collins Martin & Squires (1989) се <math>(-+-)\,</math>.

Автори,вклучувајќи го и Ајнштајн употребувале различен знак за нивната дефиниција за Рицовиот тенсор што резултирало во знакот во константата да има промена на десната страна знакот да биде негативен
:<math>R_{\mu \nu} - {1 \over 2}g_{\mu \nu}\,R - g_{\mu \nu} \Lambda = -{8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu}.</math>

Знакот за (многу мал) космолошкиот термин би се сменил и во двете верзии,ако +−−− метрично [[конвенцијата знак]] се преферира MTW −+++ метричкот знак настанат тука.

===Еквиваленти формулации===
Земајќи го  [[Скаларно закривување#Дефиниција|трака со почит кон метричноста]] на двете страни од ЕФЕ едната добива
:<math>R - \frac{D}{2} R + D \Lambda = {8 \pi G \over c^4} T \,</math>

каде <math> D </math> е времепросторската димензија. Ова може да биде презапишано како:
:<math>-R +  \frac{D \Lambda}{(D/2 -1)} = {8 \pi G \over c^4} \frac{T}{D/2-1} \,.</math>

Ако едната додаде <math>- {1 \over {2}} g_{\mu \nu} \,</math> пати на ЕФЕ, едната ја добива следната еквивалиација "трага-oбратна" форма
:<math>R_{\mu \nu} - \frac{g_{\mu \nu} \Lambda}{D/2-1} = {8 \pi G \over c^4} \left(T_{\mu \nu} - {1 \over {D-2}}T\,g_{\mu \nu}\right) .\,</math>

На пример, во <math>D=4</math> димензијата се намалува за
:<math>R_{\mu \nu} - g_{\mu \nu} \Lambda = {8 \pi G \over c^4} \left(T_{\mu \nu} - {1 \over 2}T\,g_{\mu \nu}\right) .\,</math>

Свртувајќи ја повторно трагата би ја вратила оригиналната форма на еквиваленцијата. Обратно свртената трага може да биде погодна за некои случаи

==Kосмолошка константа==

Ајнштајн ја модифицирал неговата оригинална равенка за да воведе [[космолошка константа]] term <math>\Lambda</math> пропорционална со  [[Metric (mathematics)|метричноста]]
:<math>R_{\mu \nu} - {1 \over 2}g_{\mu \nu}\,R + g_{\mu \nu} \Lambda = {8 \pi G \over c^4} T_{\mu \nu} \,.</math>

Бидејќи <math>\Lambda</math> е константа, законот за енергија не е манифестиран со оваа промена.

Космолошка константа како термник првично била објаснета од Ајнштајн за да докаже дека  [[статичен универзум|универзумот не се шири]]. Но,ефортот бил неуспешен поради:

* Универзумот објаснет преку оваа теорија бил нестабилен, и
* обзервацијата од [[Edwin Hubble]] докажала дека универзумот се [[експанзија на  универзумот|шири]].

Значи, Ајнштајн го напуштил ''Λ'', нарекувајќи го „ајголемата грешка некогаш направена“

И покрај мотивите на [[Алберт Ајнштајн|Ајнштајн]] за воведување на космолошки константен термин, не постои ништо во спротивност со присуството на таков термин во равенките. Космолошката константа за многу години беше скоро универзално прифатена како 0. Сепак, неодамнешните подобрени астрономски техники открија дека е потребна позитивна вредност на ''Λ'' за да се објасни [[забрзувачкиот универзум]].

Ајнштајн мислел на космолошката константа како независен параметар, но нејзиниот поим во равенката на полето, исто така, може алгебарски да се премести на другата страна, напишан како дел од тензорот на тензијата со енергија:

:<math>T_{\mu \nu}^{\mathrm{(vac)}} = - \frac{\Lambda c^4}{8 \pi G} g_{\mu \nu} \,.</math>

Резултирајќи  [[вакумска енергија]] која е константа и е
:<math>\rho_{\mathrm{vac}} = \frac{\Lambda c^2}{8 \pi G}</math>

==Карактеристики==

=== Заштита на енергијата и динамиката ===
Општата релативност е конзистентна со локалната зачувување на енергијата и динамиката изразена како:

:<math>\nabla_\beta T^{\alpha\beta}  \,  = T^{\alpha\beta}{}_{;\beta}  \, = 0</math>.

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
!Derivation of local energy-momentum conservation
|-
|
Contracting the [[Riemann curvature tensor#Symmetries and identities|differential Bianchi identity]]

:<math>R_{\alpha\beta[\gamma\delta;\varepsilon]}   =  \,  0</math>

with <math>g^{\alpha\gamma}</math> gives, using the fact that the metric tensor is covariantly constant, i.e. <math>g^{\alpha\beta}{}_{;\gamma}=0</math>,

:<math>R^\gamma{}_{\beta\gamma\delta;\varepsilon} +  \,  R^\gamma{}_{\beta\varepsilon\gamma;\delta} +  \,  R^\gamma{}_{\beta\delta\varepsilon;\gamma} =  \,  0</math>

The antisymmetry of the Riemann tensor allows the second term in the above expression to be rewritten:

:<math>R^\gamma{}_{\beta\gamma\delta;\varepsilon}  \, -  R^\gamma{}_{\beta\gamma\varepsilon;\delta}  \,  +  R^\gamma{}_{\beta\delta\varepsilon;\gamma}  \, = 0</math>

which is equivalent to

:<math>R_{\beta\delta;\varepsilon}  \, - R_{\beta\varepsilon;\delta}  \, + R^\gamma{}_{\beta\delta\varepsilon;\gamma} \,  = 0</math>

using the definition of the [[Ricci tensor]].

Next, contract again with the metric

:<math>g^{\beta\delta}(R_{\beta\delta;\varepsilon}  \, -  R_{\beta\varepsilon;\delta}  \, +  R^\gamma{}_{\beta\delta\varepsilon;\gamma})  \, = 0</math>

to get

:<math>R^\delta{}_{\delta;\varepsilon}  \, -  R^\delta{}_{\varepsilon;\delta}  \, +  R^{\gamma\delta}{}_{\delta\varepsilon;\gamma}  \, = 0</math>

The definitions of the Ricci curvature tensor and the scalar curvature then show that

:<math>R_{;\varepsilon}  \, -  2R^\gamma{}_{\varepsilon;\gamma} \,  = 0</math>

which can be rewritten as

:<math>(R^\gamma{}_{\varepsilon}  \,  -  \frac{1}{2}g^\gamma{}_{\varepsilon}R)_{;\gamma}  \,  = 0</math>

A final contraction with <math>g^{\varepsilon\delta}</math> gives

:<math>(R^{\gamma\delta}  \,  - \frac{1}{2}g^{\gamma\delta}R)_{;\gamma}  \,  = 0</math>

which by the symmetry of the bracketed term and the definition of the [[Einstein tensor]], gives, after relabelling the indices,

:<math> G^{\alpha\beta}{}_{;\beta}  \, = 0 </math>

Using the EFE, this immediately gives,

:<math>\nabla_\beta T^{\alpha\beta}  \,  = T^{\alpha\beta}{}_{;\beta}  \, = 0</math>

|}

кој ја изразува локалната конзервација на стрес-енергија. Овој закон за зачувување е физички услов. Со неговите равенки на полето, Ајнштајн обезбедил општата релативност да е во согласност со оваа конзерваторска состојба.

=== Нелинеарност ===
Нелинеарноста на ЕФЕ разликува општа релативност од многу други основни физички теории. На пример, [[Максвелови равенки|Максвеловите равенки]] на [[Електромагнетизам|електромагнетизмот]] се линеарни во [[Електричен генератор|електричните]] и [[Магнетно поле|магнетните полиња]], а наплаќањата и тековните дистрибуции (т.е. збирот на два раствора исто така е решение); уште еден пример е [[Шредингерова равенка|Шредингеровата равенка]] на [[квантната механика]] која е линеарна во [[Бранова должина|брановата должина]].

=== Принципот за кореспонденција ===
ЕФЕ се сведува на [[Њутнов закон за гравитацијата|законот за гравитација на Њутн]], користејќи ја приближувањето на слабото поле и апроксимацијата со бавно движење. Всушност, константата G која се појавува во ЕФЕ се определува со овие две приближувања.

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
!Изведување на Њутновиот закон за гравитација
|-
|
Newtonian gravitation can be written as the theory of a scalar field, <math>\Phi \!</math>, which is the gravitational potential in joules per kilogram
:<math>\nabla^2 \Phi [\vec{x},t] = 4 \pi G \rho [\vec{x},t]</math>

where <math>\rho \!</math> is the mass density. The orbit of a [[free-fall]]ing particle satisfies
:<math>\ddot{\vec{x}}[t] = - \nabla \Phi [\vec{x} [t],t] \,.</math>

In tensor notation, these become
:<math>\Phi_{,i i} = 4 \pi G \rho \,</math>
:<math>\frac{d^2 x^i}{{d t}^2} = - \Phi_{,i} \,.</math>

In general relativity, these equations are replaced by the Einstein field equations in the trace-reversed form
:<math>R_{\mu \nu} = K \left(T_{\mu \nu} - {1 \over 2} T g_{\mu \nu}\right)</math>

for some constant, ''K'', and the [[geodesic equation]]
:<math>\frac{d^2 x^\alpha}{{d \tau}^2} = - \Gamma^\alpha_{\beta \gamma} \frac{d x^\beta}{d \tau} \frac{d x^\gamma}{d \tau} \,.</math>

To see how the latter reduce to the former, we assume that the test particle's velocity is approximately zero
:<math>\frac{d x^\beta}{d \tau} \approx \left(\frac{d t}{d \tau}, 0, 0, 0\right) </math>

and thus
:<math>\frac{d}{d t} \left( \frac{d t}{d \tau} \right) \approx 0 </math>

and that the metric and its derivatives are approximately static and that the squares of deviations from the [[Minkowski metric]] are negligible. Applying these simplifying assumptions to the spatial components of the geodesic equation gives
:<math>\frac{d^2 x^i}{{d t}^2} \approx - \Gamma^i_{0 0} </math>

where two factors of <math>\frac{d t}{d \tau}</math> have been divided out. This will reduce to its Newtonian counterpart, provided
:<math>\Phi_{,i} \approx \Gamma^i_{0 0} = {1 \over 2} g^{i \alpha} (g_{\alpha 0 , 0} + g_{0 \alpha , 0} - g_{0 0 , \alpha}) \,.</math>

Our assumptions force α=i and the time (0) derivatives to be zero. So this simplifies to
:<math>2 \Phi_{,i} \approx g^{i j} (- g_{0 0 , j}) \approx - g_{0 0 , i} \,</math>

which is satisfied by letting
:<math>g_{0 0} \approx - c^2 - 2 \Phi \,.</math>

Turning to the Einstein equations, we only need the time-time component
:<math>R_{0 0} = K \left(T_{0 0} - {1 \over 2} T g_{0 0}\right)</math>

the low speed and static field assumptions imply that 
:<math>T_{\mu \nu} \approx \mathrm{diag} (T_{0 0}, 0, 0, 0) \approx \mathrm{diag} (\rho c^4, 0, 0, 0) \,.</math>

So 
:<math>T = g^{\alpha \beta} T_{\alpha \beta} \approx g^{0 0} T_{0 0} \approx {-1 \over c^2} \rho c^4 = - \rho c^2 \,</math>

and thus
:<math>K \left(T_{0 0} - {1 \over 2} T g_{0 0}\right) \approx K \left(\rho c^4 - {1 \over 2} (- \rho c^2) (- c^2)\right) =  {1 \over 2} K \rho c^4 \,.</math>

From the definition of the Ricci tensor
:<math>
R_{0 0} = \Gamma^\rho_{0 0 , \rho} - \Gamma^\rho_{\rho 0 , 0}
+ \Gamma^\rho_{\rho \lambda} \Gamma^\lambda_{0 0}
- \Gamma^\rho_{0 \lambda} \Gamma^\lambda_{\rho 0}
.</math>

Our simplifying assumptions make the squares of Γ disappear together with the time derivatives
:<math>R_{0 0} \approx \Gamma^i_{0 0 , i} \,.</math>

Combining the above equations together
:<math>\Phi_{,i i} \approx \Gamma^i_{0 0 , i} \approx R_{0 0} = K \left(T_{0 0} - {1 \over 2} T g_{0 0}\right) \approx {1 \over 2} K \rho c^4 \,</math>

which reduces to the Newtonian field equation provided 
:<math>{1 \over 2} K \rho c^4 = 4 \pi G \rho \,</math>

which will occur if 
:<math>K = \frac{8 \pi G}{c^4} \,.</math>
|}

==Равенки на полето во вакуум==
[[Image:Swiss-Commemorative-Coin-1979b-CHF-5-obverse.png|thumb|Швајцарска комеморативна монета од 1979 година, која ги покажува вакуумските равенки со нула космолошка константа (горе).]]
Ако тензорот на енергетскиот импулс <math>T_{\mu \nu}</math> е нула во подрачјето што се разгледува, тогаш равенките на полето исто така се нарекуваат равенки на полето во вакуум <math>T_{\mu \nu} = 0</math> во равенките обратни на полето , [[Вакуум|вакуум равенките]] може да се пишуваат како:

:<math>R_{\mu \nu} = 0 \,.</math>

Во случај на нула-космолошка константа, равенките се

:<math>R_{\mu \nu} = \frac{\Lambda}{D/2 -1} g_{\mu \nu} \,.</math>.
:Решенијата за вакуумските равенки се нарекуваат вакуумски решенија. [[Минковскиев простор|Минковскиот простор]] наједноставен пример за вакуумско решение. Нетривиални примери вклучуваат решение на [[Шварцшилдов полупречник|Шварцшилд]] и решение Кер.

Манифестали со тензично исчезнатиот Риччи, <math> R_{\mu \nu}=0 </math>,се нарекуваат Рикки-рамни колекции и размери со тензорот на Ричи, пропорционален на метриката како Ајнштајн-манифолдери.

== Равенки на Ајнштајн и Максвел ==
{{see also|Максвелови равенки во заоблен  време-простор}}

Ако тензорот на енергетскиот импулс <math>T_{\mu \nu}</math> е оној на [[електромагнетно поле]] во слободен простор, односно ако  електромагнетски тензор-тензии

:<math>T^{\alpha \beta} = \, -\frac{1}{\mu_0} \left( F^{\alpha}{}^{\psi} F_{\psi}{}^{\beta} + {1 \over 4} g^{\alpha \beta} F_{\psi\tau} F^{\psi\tau}\right)  </math>

се користи, тогаш Ајнштајнските поле равенки се нарекуваат равенки Ејнштајн-Максвел (со [[космолошка константа]] Λ, земени како нула во конвенционалната теорија на релативитетот):

:<math>R^{\alpha \beta} - {1 \over 2}R g^{\alpha \beta} + g^{\alpha \beta} \Lambda = \frac{8 \pi G}{c^4 \mu_0} \left( F^{\alpha}{}^{\psi} F_{\psi}{}^{\beta} + {1 \over 4} g^{\alpha \beta} F_{\psi\tau} F^{\psi\tau}\right).</math>

Дополнително, [[Максвелови равенки|коваријантните Максвелови равенки]] се применуваат и во слободниот простор:

:<math>F^{\alpha\beta}{}_{;\beta} \, = 0</math>

:<math>F_{[\alpha\beta;\gamma]}=\frac{1}{3}\left(F_{\alpha\beta;\gamma} + F_{\beta\gamma;\alpha}+F_{\gamma\alpha;\beta}\right)=\frac{1}{3}\left(F_{\alpha\beta,\gamma} + F_{\beta\gamma,\alpha}+F_{\gamma\alpha,\beta}\right)= 0. \!</math>

каде што точка-запирка претставува [[коваријантен дериват]], а загради означуваат [[антисимметризација]]. Првата равенка тврди дека 4-дивергенцијата на дво-форма F е нула, а втората дека нејзиниот надворешен дериват е нула. Од вторите, следува по Poincaré лемма дека во координата шема е можно да се воведе потенцијал за електромагнетно поле Aα така што

:<math>F_{\alpha\beta} = A_{\alpha;\beta} - A_{\beta;\alpha}  = A_{\alpha,\beta} - A_{\beta,\alpha}\!</math>

во кој запирката означува делумен дериват. Ова често се зема како еквивалент на коваријантната Максвелова равенка од која е изведена. Сепак, постојат глобални решенија на равенката која може да нема глобално дефиниран потенцијал.<ref>{{Cite journal | last1=Trautman | first1=Andrzej | authorlink = Andrzej Trautman|title=Solutions of the Maxwell and Yang-Mills equations associated with hopf fibrings | year=1977 | journal=[[International Journal of Theoretical Physics]] | volume=16 | issue=9|pages=561–565 | doi=10.1007/BF01811088|bibcode = 1977IJTP...16..561T }}.</ref>

== Решенија ==
{{main|Решенија на Ајнштајновите равенки за полето}}

Решенијата на равенките на Ајнштајновото поле се метрика на [[Време-простор|време-просторот]]. Овие метрики ја опишуваат структурата на времетраењето на времето, вклучувајќи го инерциското движење на предметите во просторот. Бидејќи равенките на полето се нелинеарни, тие не можат секогаш да бидат целосно решени (т.е. без приближување). На пример, не постои познато комплетно решение за временско време со две масивни тела во него (на пример, теоретски модел на систем на бинарни ѕвезди). Сепак, во овие случаи обично се прават приближувања. Овие се вообичаено се нарекуваат пост-њутонски приближувања. И покрај тоа, постојат бројни случаи каде што равенките на полето се решени целосно, и тие се нарекуваат точни решенија.

Студијата за точни решенија на равенките на Ајнштајн е една од активностите на космологијата. Тоа води до предвидување на [[Црна дупка|црни дупки]] и до различни модели на еволуција на универзумот.

Исто така, може да се откријат нови решенија на равенките на Ајнштајн преку методот на ортонормални рамки како што е пионер од Елис и МакКалум. Во овој пристап, равенките за полето на Ајнштајн се сведени на множество на споени, нелинеарни, обични диференцијални равенки. Како што беше дискутирано од страна на Хсу и Вејнврајт, само слични решенија за Ајнштајновите равенки за полето се фиксни точки на добиениот [[динамичен систем]]. Новите решенија се откриени користејќи ги овие методи од ЛеБлан и Коли и Хаслам.<ref>Kohli, Ikjyot Singh and Haslam, Michael C, "Dynamical systems approach to a Bianchi type I viscous magnetohydrodynamic model", Phys. Rev. D 88, 063518 (2013)</ref>

== Линеарен ЕФЕ ==
{{Main|Линеаризирана гравитација}}

Нелинеарноста на ЕФЕ прави тешко наоѓање на точни решенија. Еден начин за решавање на равенките на поле е да се направи апроксимација, имено, дека далеку од изворот(и) на гравитационата материја, гравитационото поле е многу слабо и [[Време-простор|време-просторот]] е приближно оној на [[Минковскиев простор|Минковскиевиот простор]]. Тогаш метриката е напишана како збир на Минковскиевата метрика и термин кој ја претставува отстапката на вистинската метрика од Минковскиевата метрика, со термини кои се квадратни во или повисоки сили на отстапувањето се игнорираат. Оваа постапка на линеаризација може да се искористи за да се испитаат појавите на [[Гравитационен бран|гравитационото зрачење]].

== Полиномна форма ==
Може да се мисли дека ЕФЕ се не-полиноми, бидејќи тие го содржат инверзниот на метричкиот тензор. Сепак, равенките може да бидат поставени така што тие ги содржат само метричкиот тензор, а не обратниот. Прво, детерминанта на метриката во 4 димензии може да биде напишана:

:<math>
\det(g) = \frac{1}{24} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu} g_{\alpha\kappa} g_{\beta\lambda} g_{\gamma\mu} g_{\delta\nu}
\,</math>

користејќи го симболот Леви-Сивита и инверзната на метриката во 4 димензии може да биде напишана како:

:<math>
g^{\alpha\kappa} = \frac{1}{6} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu} g_{\beta\lambda} g_{\gamma\mu} g_{\delta\nu} / \det(g)
\,.</math>

Заменувајќи ја оваа дефиниција на инверзна метрика во равенките, а потоа ги множи обете страни од det (g) се додека не останат во именителот, резултатите во полиномичките равенки во метричкиот тензор и неговите први и втора деривати. Дејството од кое се изведени равенките, исто така, може да биде запишано во полиномна форма со соодветни редефиниции на полињата.<ref>Einstein's Field Equations in Polynomial Form|http://arxiv.org/pdf/gr-qc/0507026.pdf</ref>

== Поврзано ==
{{Div col|colwidth=25em}}
*[[Einstein–Hilbert action]]
*[[Equivalence principle]]
*[[Exact solutions in general relativity]]
*[[General relativity resources]]
*[[History of general relativity]]
*[[Hamilton–Jacobi–Einstein equation]]
*[[Mathematics of general relativity]]
*[[Ricci calculus]]
{{Div col end}}

== Белешки ==
{{reflist|30em}}

== Наводи ==
See [[General relativity resources]].
*{{citation|author=[[Charles Misner]]; [[Kip S Thorne]]; [[John Archibald Wheeler]]|title=[[Gravitation (book)|Gravitation]]|location=San Francisco|publisher=W. H. Freeman|year=1973|isbn=0-7167-0344-0|page=501ff}}
*{{citation|last=Weinberg|first=Steven|year=1972|title=Gravitation and Cosmology|isbn=0-471-92567-5|publisher=John Wiley & Sons, Inc|authorlink=Steven Weinberg}}

==Надворешни врски ==
{{wikibooks | General Relativity}} 
{{wikiversity | General Relativity}} 
* {{springer|title=Einstein equations|id=p/e035210}}
* [http://www.black-holes.org/relativity6.html Caltech Tutorial on Relativity] &mdash; A simple introduction to Einstein's Field Equations.
* [http://math.ucr.edu/home/baez/einstein/einstein.html The Meaning of Einstein's Equation] &mdash; An explanation of Einstein's field equation, its derivation, and some of its consequences
*[http://www.youtube.com/watch?v=8MWNs7Wfk84&feature=PlayList&p=858478F1EC364A2C&index=2 Video Lecture on Einstein's Field Equations] by [[MIT]] Physics Professor Edmund Bertschinger.
*[http://scitation.aip.org/content/aip/magazine/physicstoday/article/68/11/10.1063/PT.3.2979 Arch and scaffold: How Einstein found his field equations] Physics Today November 2015, History of the Development of the Field Equations

{{Einstein}}
{{Relativity}}

{{DEFAULTSORT:Ајнштајнови равенки за полето}}
[[Категорија:Алберт Ајнштајн]]
[[Категорија:Равенки во физиката]]
[[Категорија:Општа релативност]]
[[Категорија:Парцијални диференцијални равенки]]