Преглед на кодот на Елипса

 [[Податотека:Elipse.svg|мини|Збирот на растојанијата на една точка (во случајов точката X) од двата фокуса на елипсата секогаш е еднаков (т.е. растојанието означено со сина боја е константно за која било точка на елипсата)]]

'''Елипса''' ([[Старогрчки јазик|старогрч.]] ''ἔλλειψις'', недостаток) – во [[математика]]та е крива затворена линија во [[рамнина]], која може да се дефинира како [[геометриско место на точки]] чиј збир на растојанија од една точка на елипсата до две фиксирани точки е секогаш еднаков (види ја сликата). Овие две точки уште се нарекуваат ''фокуси на елипсата'', а точката која се наоѓа точно меѓу нив е центар на елипсата.

Елипсата има два ''[[пречник|пречници]]'' (полупречници) кои претставуваат минимално и максимално растојание на нејзините точки од нејзиниот центар, а се нарекуваат [[оска|оски]] на елипсата. ''Оските на елипсата'' се две [[права (геометрија)|прави]] кои ги содржат нејзините пречници. Првата, поголемата, поминува низ двете фокусни точки, а другата, помалата поминува низ нејзиниот центар, и е [[Нормалност (геометрија)|нормална]] на првата. Половината од поголемата оска се нарекува голема полуоска, и во астрономијата се користи како еден од [[орбитални елементи|орбитални параметри]] кои ја опишуваат [[орбита]]та на некое [[небесно тело]].

Доколку двете фокусни точки е една иста точка, се работи за специјален случај на елипса, кој се нарекува [[круг]].

 [[Податотека:Ellipse som keglesnit.jpg|мини|десно|Елипсата се добива како пресек на [[конус]] и [[рамнина]]]]
Елипсата е вид [[конусен пресек]]. Ако [[конус]] е пресечен со [[рамнина]]  која не ја сече основата на конусот и не е паралелна со неа, пресекот на конусот и рамнината е елипса.

==Параметарска равенка на елипса==
Размерот на елипсата е определен од две константи , означени со a и b, каде a е должината на големата полуоска, а b, на малата полуоска.

Елипса, чијшто центар е во почетокот на [[координатен систем|координатниот систем]] ''Oxy'' и нејзината главна оска е по оската ''x'', е определена со канонската равенка:

:<math>\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 </math>

Следниот графикон ја демонстрира [[Питагорова теорема|Питагоровата теорема]] ''a''² = ''b''² + ''c''² како посебен случај на долната непараметарска равенка за (''x'' = 0, ''y'' = b).

[[Image:Ellipse_PLS_en.png|center]]

Истата елипса може да биде претставена со параметарски равенки:
:<math>x = a\,\cos t</math>
:<math>y = b\,\sin t</math>
:<math>0 \leq t < 2\pi</math>
При што се користат [[тригонометрија|тригонометриските]] функции [[синус]] и [[косинус]].

Ако елипсата не е со центар во почетокот на координатниот систем, но главната оска ѝ е по оската ''x'', истата може да биде претставена со равенката

:<math>\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} = 1 </math>

каде (h,k) се координатите на нејзиниот центар.

== Ексцентрицитет ==
Формата на елипсата се изразува со бројка, наречена [[ексцентрицитет]] на елипсата, која се означува со ''e''. Ексцентрицитетот е поврзан со ''a'' и ''b'' преку равенството
:<math>e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}</math>
каде <math>c</math> (линеарниот ексцентрицитет на елипсата) е еднаков на растојанието од центарот до кој било од фокусите.
:<math>e = \frac{c}{a}</math>

Ексцентрицитетот е позитивен број меѓу 0 (во случај на круг) и 1.

Колку е поголем ексцентритетот, толку е поголем односот на ''a'' со ''b'' и следователно елипсата е поиздолжена.

Растојанието меѓу фокусите е 2''ae''.

== Површина ==
[[Површина]]та на елипсата е:

:<math>P = ab\pi</math>

каде ''a'' и ''b'' се полупречници на елипсата, а [[пи]] = 3,14159... математичка константа.
До формулата за површината се дошло со пресметки со помош на интеграли.

'''Доказ'''. Четвртина од површината на елипсата во канонски облик е во првиот квадрант. Спрема тоа површината на целата елипса е 
: <math>P = 4\int_0^a ydx = 4\int_0^a b\cdot\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}dx = [ x = a\sin t, \ dx = a\cos t dt] </math>
:: <math>= 4\int_0^{\frac{\pi}2} b\cdot\sqrt{\cos^2t}\cdot\cos t dt = 4ab\int_0^{\frac{\pi}2} \cos^2 t dt</math>
:: <math>= 4ab\int_0^{\frac{\pi}2} \frac{1+\cos 2t}2dt = 4ab\int_0^{\frac{\pi}2} \frac{dt}2 + ab\int_0^{\frac{\pi}2} \cos 2td2t </math>
:: <math>= 4ab\cdot \frac{\pi}2 \Bigg|^{\frac{\pi}2} + ab\sin 2t \Bigg|_0^{\frac{\pi}2} = ab\pi.</math>
Со што доказот е завршен.

== Обем ==
[[Обем]]от на елипсата може да се претстави на разни начини:

Бесконечни редови:
:<math>O = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2e^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{e^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{e^6\over5} - \dots}\right]\!\,</math>

Што е исто што и:

:<math>O = 2\pi a \sum_{n=0}^\infty {\left\lbrace - \left[\prod_{m=1}^n \left({ 2m-1 \over 2m}\right)\right]^2 {e^{2n}\over 2n - 1}\right\rbrace}</math>

Добра апроксимација на оваа вредноста направил [[Сриниваса Рамануџан|Рамануџан]]:
:<math>O \approx \pi \left[3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)}\right]\!\,</math>

Која може да се запише и како:
:<math>O \approx \pi a \left[ 3 (1+\sqrt{1-e^2}) - \sqrt{(3+ \sqrt{1-e^2})(1+3 \sqrt{1-e^2})} \right] \!\,</math>

Во специјален случај, кога помалата оска е двојно помала од поголемата оска, важи:
:<math>O \approx \pi a (9 - \sqrt{35})/2 \!\,</math>

== Својства како рефлектор ==
Ако имаме елипсовидно огледало со извор на светлина во еден од фокусите, тогаш сите зраци ќе се рефлектираат кон една точка - вториот фокус. Бидејќи нема друга крива со ова својство, истото може да се искористи како алтернативна дефиниција за елипса.

== Елипсата во физиката ==
[[Јохан Кеплер]] открил, дека орбитите, кои планетите ги опишуваат околу [[Сонце]]то, са со форма на елипса. Тоа е и првиот закон на Кеплер. Подоцна [[Исак Њутн]] објаснил, дека тој факт е природен резултат од неговиот [[Њутнов закон за гравитација|универзален закон за привлекување]].

== Елипсоид ==
Во тродимензионалниот координатен систем обликот елипса се вика '''елипсоид'''. Во геометријата елипсоидот е тело кое во однос на [[топка (геометрија)|топката]] е благо сплескано.

== Наводи ==
{{наводи}}

== Надворешни врски ==
{{Commonscat|Ellipses}}
* {{wikiquote-inline}}
* {{Commons category-inline|Ellipses}}
* {{Britannica|185064|Ellipse (mathematics)}}
* {{PlanetMath |urlname= ellipse|title= ellipse}}
*{{MathWorld |id=Ellipse |title=Ellipse}}
*{{MathWorld |id=Hypotrochoid|title=Ellipse as special case of hypotrochoid}}
*[https://web.archive.org/web/20070715063900/http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=196&bodyId=203 Apollonius' Derivation of the Ellipse] at Convergence
*[http://faculty.evansville.edu/ck6/ellipse.pdf ''The Shape and History of The Ellipse in Washington, D.C.''] by [[Clark Kimberling]]
*[http://www.fxsolver.com/solve/share/ON58ARMtP65D1khWt1uwUA==/ Ellipse circumference calculator]
*[http://www.mathopenref.com/tocs/ellipsetoc.html Collection of animated ellipse demonstrations]
*{{springer| title=Ellipse | id=Ellipse&oldid=11394 | last=Ivanov | first=A.B. }}
*[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:01-Ellipsenzirkel-van_Schooten-3.svg#{{int:filedesc}} Trammel according Frans van Schooten]

{{Нормативна контрола}}
[[Категорија:Евклидова геометрија]]
[[Категорија:Геометриски фигури]]
[[Категорија:Конусни пресеци]]