Преглед на кодот на Квадратен корен

[[Податотека:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|мини|десно|168п|Математички израз на квадратен корен од x.]]
[[Податотека:Five Squared.svg|мини|десно|168п|На пример, {{math|{{sqrt|25}} {{=}} 5}}, бидејќи {{math|25 {{=}} 5 ⋅ 5}}, или {{math|5<sup>2</sup>}} (5 на квадрат).]]
'''Квадратен корен''' – [[унарна операција|унарна]] математичка операција инверзна на степенување на [[квадрат (алгебра)|квадрат]]. Ознаката на оваа операција над некој број ''a'' е <math>\sqrt a</math>, и се чита се како „корен од ''a''“. Квадратен корен од бројот ''a'' е број ''y'' така што {{nowrap|1=''y''<sup>2</sup> = ''a''}}. Со други зборови, бројот ''y'' чиј ''[[квадрат (алгебра)|квадрат]]'' е ''a'' (резултат на множење на бројот со самиот себе, или {{nowrap|''y'' ⋅ ''y''}}).<ref>Gel'fand, [https://books.google.com/books?id=Z9z7iliyFD0C&pg=PA120 p. 120] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160902151740/https://books.google.com/books?id=Z9z7iliyFD0C&pg=PA120 |date=2. 9. 2016 }}</ref> На пример, 4 и −4 се квадратни корени на бројот 16, затоа што {{nowrap|1=4<sup>2</sup> = (−4)<sup>2</sup> = 16}}. Потполно исправно би било да се пишува <math>\sqrt[2]{a}</math>, и да се изговара „квадратен корен од ''a''“, меѓутоа тоа ретко се прави затоа што во најголем број случаи коренот се однесува на квадратен корен, па се востановил пократок изговор и поедноставен запис.

Секој ненегативен [[реален број]] ''a'' има единствен ненегативен квадратен корен, кој се нарекува ''главен квадратни корен'', и се означува со {{sqrt|''a''}}, при што √ се нарекува ''ознака за корен'' или ''[[радикс]]''. На пример, главниот квадратен корен од 9 е 3, што се бележи со {{sqrt|9}} = 3, затоа што {{nowrap|1=3<sup>2</sup> = 3 • 3 = 9}} и 3 е ненегативен. Членот (или бројот) чијшто квадратен корен се разгледува се нарекува ''радиканд''. Радиканд е број или израз под коренскиот знак, во овој пример 9.

Секој [[позитивен број]] ''a'' има два квадратни корена: {{sqrt|''a''}}, кој е позитивен, и −{{sqrt|''a''}}, кој е негативен. Заедно, овие два корена се означуваат со ±{{sqrt|''a''}} (погледајте го знакот [[знак плус-минус|±]]). И покрај тоа што главниот квадратен корен од позитивен број е само еден од неговите два единствени корени, ознаката за „квадратен корен” обично се користи за означување на ''главниот квадратен корен''. За позитивен ''a'', главниот квадратен корен може да се запише како [[степенување|степен]], ''a''<sup>1/2</sup>.<ref>{{Cite book|title=A First Course in Complex Analysis With Applications |edition=2nd |first=Dennis G. |last=Zill |first2=Patrick |last2=Shanahan |publisher=Jones & Bartlett Learning |year=2008 |isbn=978-0-7637-5772-4 |url=https://books.google.com/books?id=YKZqY8PCNo0C |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160901081936/https://books.google.com/books?id=YKZqY8PCNo0C |archive-date=1. 9. 2016. |pages=78}} [https://books.google.com/books?id=YKZqY8PCNo0C&pg=PA78 Extract of page 78] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160901091148/https://books.google.com/books?id=YKZqY8PCNo0C&pg=PA78 |date=1. 9. 2016 }}</ref>

Квадратните корени од негативни броеви може да се разгледуваат во рамките на [[комплексен број |комплексните броеви]]. Поопшто, квадратните корени може да се разгледуваат во кој било контекст во кој е дефиниран поимот „квадрирање” на некои математички објекти (вклучувајќи ги [[матрица (математика)|алгебарската матрица]], ендоморфистички прстени, итн.)

== Дефиниција ==
Оваа операција се дефинира со следната релација:
:''Квадратен корен од бројот x е ненегативен број кој помножен сам со себе го дава x.''

На пример, <math>\sqrt 9 = 3</math> затоа што <math>3^2 = 3\cdot 3 = 9\,</math>.

Примерот покажува како се појавува квадратниот корен при решавање на квадратната равенка <math>x^2 = 9\,</math>.

Обопштено, [[квадратна равенка]] има облик <math>ax^2 + bx + c = 0\,</math> и за нејзино решавање неопходна е примена на квадратен корен.

== Особини ==
[[Податотека:Square_root_0_25.svg|мини|400п|Графикон на функцијата ''f''(''x'') = √<span style = "text-decoration:overline">''x''</span>, е половина [[парабола]] со исправена [[директриса]].]] Оваа функција е [[извод|диференцијабилна]] и [[интеграл|интеграбилна]] во целиот [[Домен (математика)|домен]].
'''Квадратен корен''' е [[Функција (математика)|функција]] <math> f(x) = \sqrt{x}</math> која го пресликува [[множество]]то ненегативни реални броеви <math>\mathbb{R}^+ \cup \{0\} </math> во самото себе.

Квадратен корен од квадрат на некој реален број не е самиот тој број, туку неговата [[апсолутна вредност]]:

::<math>
\sqrt{x^2} = \left|x\right| = 
\begin{cases} 
  x,  & \mbox{if } x \ge 0 \\
  -x, & \mbox{if } x \le 0. 
\end{cases}
</math>

Заради оваа своја особина, квадратниот корен не е права инверзна функција на квадратната функција. Квадратната функција и функцијата на квадратен корен се инверзни во множеството <math>\mathbb{R}^+ \cup \{0\} </math>.

Квадратниот корен може да се дефинира и на [[поле (математика)|полето]] на [[комплексен број|комплексни броеви]], како и на [[матрица (математика)|матрици]].

Квадратен корен од природен број често е [[ирационален број]] т.е. број кој не може да се запише во облик на [[дропка]]. На пример <math>\sqrt 2\,</math> не може да се запише како ''m''/''n'', каде ''n'' и ''m'' се природни броеви. Меѓутоа, точно толку изнесува должината на дијагонала на квадрат чија должина на страна е еднаква на 1.

== Историја ==
Откривањето на фактот дека <math>\sqrt 2\,</math> и бројот 1 се несразмерни, му се припишува на [[Хипас]], ученик на [[Питагора]]. За питагорејците овој факт бил толку шокантен што терминот ирационален, чиј првобитен превод значи несразмерен, кој не може да се прикаже во облик на количник ({{lang-lat|ratio}}) и денес се користи за нешто неразбирливо, туѓо на промислување <ref name="bozic">Милан Божић, ''Преглед историје и филозофије математике''. {{page1|publisher=|location=Београд|year=2002|isbn=978-86-17-10124-2|pages=}}</ref>.

Ознака, [[Таблица на математичкии симболи|симбол]], за квадратен корен (<math>\sqrt{\ } </math>) прв пат била употребена во 16 век. Според некои математичари, меѓу кои и Ојлер, знакот проистекол од изменетиот испис на малата [[Латиница|латинична]] буква ''r'', што е скратеница од {{lang-lat|radix}} што значи корен.

== Поврзано ==
* [[Методи за пресметување квадратен корен]]
* [[Кубен корен]]
* [[Степенување]]

== Наводи ==
{{наводи}}

== Литература ==
{{refbegin|30em}}
* {{Cite book|ref=harv|title=A First Course in Complex Analysis With Applications |edition=2nd |first=Dennis G. |last=Zill |first2=Patrick |last2=Shanahan |publisher=Jones & Bartlett Learning |year=2008 |isbn=978-0-7637-5772-4 |url=https://books.google.com/books?id=YKZqY8PCNo0C |url-status=live |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160901081936/https://books.google.com/books?id=YKZqY8PCNo0C |archive-date=1. 9. 2016. |pages=78}} [https://books.google.com/books?id=YKZqY8PCNo0C&pg=PA78 Extract of page 78] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160901091148/https://books.google.com/books?id=YKZqY8PCNo0C&pg=PA78 |date=1. 9. 2016 }}
* {{Cite book|ref=harv| last=Dauben | first = Joseph W. |author-link = Joseph Dauben | editor-last=Katz | editor-first = Victor J. | title = The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam | chapter = Chinese Mathematics I | publisher = Princeton University Press | location = Princeton |year=2007 | url = https://books.google.com/books?id=3ullzl036UEC |isbn=978-0-691-11485-9|pages=}}
* {{Cite book|ref=harv|title=Algebra|edition=3rd|first=Izrael M.|last=Gel'fand|first2=Alexander|author-link=Israel Gelfand|last2=Shen|publisher=Birkhäuser|year=1993|isbn=978-0-8176-3677-7|url=https://books.google.com/books?id=Z9z7iliyFD0C|pages=120}}
* {{Cite book|ref=harv| last=Joseph | first = George | title = The Crest of the Peacock | publisher = Princeton University Press | location = Princeton |year=2000 |isbn=978-0-691-00659-8|pages=}}
* {{Cite book|ref=harv| last=Smith | first = David |author-link = David Eugene Smith| title = History of Mathematics | publisher = Dover Publications | location = New York |year=1958 |isbn=978-0-486-20430-7 | volume = 2}}
* {{citation|last=Selin|first=Helaine|author-link=Helaine Selin|title=Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures|url=https://books.google.com/books?id=kt9DIY1g9HYC&pg=PA1268|year=2008|publisher=Springer|isbn=978-1-4020-4559-2|pages=}}.
{{refend}}

== Надворешни врски ==
{{commons category|Square root}}
* [http://www.azillionmonkeys.com/qed/sqroot.html Algorithms, implementations, and more]{{snd}}Paul Hsieh's square roots webpage
* [http://johnkerl.org/doc/square-root.html How to manually find a square root]
* [http://www.ams.org/samplings/feature-column/fc-2013-05 AMS Featured Column, Galileo's Arithmetic by Tony Philips]{{snd}}includes a section on how Galileo found square roots

{{Нормативна контрола}}

[[Категорија:Елементарна математика]]
[[Категорија:Елементарни функции]]