Преглед на кодот на Комплемент

{{Без извори|датум=ноември 2009}}
Во теоријата на множества и други гранки на математиката, дефинирани се два вида на комплементи: релативен комплемент и апсолутен комплемент.

== Релативен комплемент ==
Ако ''A'' и ''B'' се множества, тогаш '''релативниот комплемент''' на ''A''
во ''B'', познат и како '''разлика на множества''' меѓу ''B'' и ''A'', е множеството чии елементи припаѓаат на ''B'', но не припаѓаат на ''A''.
<div style="float:right;margin:1em;">[[Податотека:Venn_B_minus_A.png|250px|center|B minus A]]<center><small>'''Релативниот комплемент'''<br />на ''A'' во ''B''</small></center></div>

Релативниот комплемент на ''A'' во ''B'' обично се пишува ''B''&nbsp;−&nbsp;''A'' (исто така и ''B''&nbsp;\&nbsp;''A'').

Формално:
:<math>B - A = \{ x\in B \, | \, x \not \in A \}. </math>

Примери:
:* {1,2,3}&nbsp;−&nbsp;{2,3,4}&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&nbsp;{1}
:* {2,3,4}&nbsp;−&nbsp;{1,2,3}&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&nbsp;{4}
:* Ако <math>\mathbb{R}</math> е е множеството на [[реални броеви]] и <math>\mathbb{Q}</math> е множеството на [[рационални броеви]], тогаш <math> \mathbb{R}-\mathbb{Q}</math> е множеството на [[ирационални броеви]].

Следните изрази ги покажуваат некои важни особини на релативните комплементи во однос на [[операции]]те [[унија]] и [[пресек]] од теорија на множества.

'''PROPOSITION 1''': Ако ''A'', ''B'', и ''C'' се множества, тогаш важат следните [[идентитети]]:
:* ''C''&nbsp;−&nbsp;(''A'' ∩''B'')&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''C''&nbsp;−&nbsp;''A'') ∪(''C''&nbsp;−&nbsp;''B'')
:* ''C''&nbsp;−&nbsp;(''A'' ∪''B'')&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''C''&nbsp;−&nbsp;''A'') ∩(''C''&nbsp;−&nbsp;''B'')
:* ''C''&nbsp;−&nbsp;(''B''&nbsp;−&nbsp;''A'')&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''A'' ∩''C'') ∪(''C''&nbsp;−&nbsp;''B'')
:* (''B''&nbsp;−&nbsp;''A'') ∩''C''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''B'' ∩''C'')&nbsp;−&nbsp;''A''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''B'' ∩(''C''&nbsp;−&nbsp;''A'')
:* (''B''&nbsp;−&nbsp;''A'') ∪''C''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''B'' ∪''C'')&nbsp;−&nbsp;(''A''&nbsp;−&nbsp;''C'')
:* ''A''&nbsp;−&nbsp;''A''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;Ø
:* Ø&nbsp;−&nbsp;''A''&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;Ø
:* ''A''&nbsp;−&nbsp;Ø&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''A''

== Апсолутен комплемент ==
<div style="float:right;margin:1em;">[[Податотека:absolute complement.svg|250px|center|A complement]]<center><small>'''Комплементот''' на ''A'' во '''U'''</small></center></div>
Ако е дефинирано ''[[универзално множество]]'' '''U''', тогаш релативниот комплемент на ''A'' во '''U''' се нарекува '''апсолутен комплемент''' (или едноставно '''комплемент''') на ''A'', и се означува со ''A''<sup>C</sup>, што значи:

:''A''<sup>C</sup>&nbsp;&nbsp;=&nbsp;'''U'''&nbsp;−&nbsp;''A''

На пример, ако универзалното множество е множеството на [[природни броеви]], тогаш комплементот на множеството непарни броеви е множеството парни броеви.

Следниот израз ги покажува некои важни особини на апсолутните комплементи во однос на [[операции]]те [[унија]] и [[пресек]] од теорија на множества.


Ако ''A'' и ''B'' се подможества на [[универзално множество]] '''U''', тогаш важат следните идентитети:
:[[Де Морганови закони]]:
::* (''A'' ∪&nbsp;''B'')<sup>C</sup> &nbsp;=&nbsp;''A''<sup>C</sup> ∩&nbsp;''B''<sup>C</sup>
::* (''A'' ∩&nbsp;''B'')<sup>C</sup> &nbsp;=&nbsp;''A''<sup>C</sup> ∪&nbsp;''B''<sup>C</sup>
:Закони за комплемент:
::* ''A'' ∪&nbsp;''A''<sup>C</sup>&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;'''U'''
::* ''A'' ∩&nbsp;''A''<sup>C</sup>&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;Ø
::* Ø<sup>C</sup>&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;'''U'''
::* '''U'''<sup>C</sup>&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;Ø
::* Ако ''A''⊆''B'', тогаш ''B''<sup>C</sup>⊆''A''<sup>C</sup>
:[[Инволуција]] или закон за двоен комплемент:
::* ''A''<sup>C</sup><sup>C</sup>&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''A''.
:Релации помеѓу релативен и апсолутен комплемент:
::* ''A''&nbsp;−&nbsp;''B'' = ''A''&nbsp;∩&nbsp;''B''<sup>C</sup>
::* (''A''&nbsp;−&nbsp;''B'')<sup>C</sup> = ''A''<sup>C</sup>&nbsp;∪&nbsp;''B''


Првите два горенаведени закони за комплемент покажуваат дека ако ''A'' е непразно подмножество на '''U''', тогаш {''A'', ''A''<sup>C</sup>} е [[партиција]] на '''U'''.

[[Категорија:Математика]]