Преглед на кодот на Косеканс

{{Функција
|name = Косеканс 
|image = Csc.svg
|caption = y(x)=cosec(x)
|heading1 = 1
|domain =  (k,(k+2)π)
|codomain = (-∞,-1] и [1,∞)
|parity = непарна
|period = ''2π''
|heading2 = 1
|zero = 0
|root = 
|asymptote = kπ
|plusinf =
|minusinf =
|fixed =
|vr1 =
|f1 =
|vr2 =
|f2 =
|vr3 =
|f3 =
|vr4 =
|f4 =
|vr5 =
|f5 =
|heading3 = 1
|max = 
|min = 
|derivative = - cosec&sup2;(x)/sec(x)
|critical = 
|inflection = 
|notes = к е цел број
}}

'''Косеканс''' – [[тригонометриски функции|тригонометриска функција]] еднаква на односот помеѓу [[хипотенуза]]та и спротивната [[катета]] во [[правоаголен триаголник]].<ref>{{ДРМЈ|косеканс}}</ref> Косекансот е [[реципрочна вредност]] од [[синус]].

==Дефиниција==
Дефиницијата гласи:

:<math>\operatorname{sec}\;x = \frac{1}{\sin x}</math>
Врската со [[секанс]] е
:<math>\operatorname{cosec}\;x = \operatorname{sec}\, (x - \pi / 2)</math>

Како и останатите [[тригонометриски функции]] и косекансот претставува однос меѓу две страни на [[правоаголен триаголник]]. Косеканс е однос на хипотенузата и спротивната катета.
{|
| style="padding: 0;" |
:<math>\operatorname{sec}\;\theta = \frac{h}{a}</math>

[[Податотека:Trigonometric Triangle.svg|мини|250px|десно|Тригонометриски триаголник]]
|}
На тригонометрискиот круг вредноста на косекансот е еднаква на големината на следната должина
{|
| style="padding: 0;" |
:<math>\csc\theta = \overline{OE}</math>

[[Податотека: AcuteAngle.png|мини|лево|300п|Првиот квадрант од единична кружница]] 
|}
{| border="1" cellpadding="1" align="center" style="width:400px"
|+''Некои карактеристични вредности''
|- align="center"
! степени !! 0° !! 30° !! 45° !! 60° !! 90°
|- align="center"
| радијани || 0 ||<math>\pi/6</math>||<math>\pi/4</math>||<math>\pi/3</math>||<math>\pi/2</math> 
|- align="center"
! <math>\sec\theta\,</math>
| <math>\infty\;</math> || <math>2\;</math> || <math>\sqrt{2}</math> || <math>\frac{2}{3}{\sqrt{3}}</math> || <math>1\;</math>
|}
<br clear=all/>

== Претставување на функцијата ==

Функцијата може да се претстави во следниот вид:
: <math>\csc(x) = \frac{1}{x} - 2x \, \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k} {k^2\pi^2-x^2} = \sum_{k=-\infty}^\infty \frac{(-1)^k \, x}{x^2-k^2\pi^2} </math>

== Особини на функцијата ==
Со детална анализа може да се одредат карактеристичните особини на функцијата.
* Дефинициона област на функцијата:
:функција е дефинирана во множеството реални броеви <math>\mathbb{R}</math>, освен во точките каде има прекини, а кои се преброиви
:<math>-\infty < x < +\infty \quad ; \quad x \ne \left(n\right)\cdot\pi\,; \,n\in\mathbb{Z}</math>
* Област на вредностите на функцијата:
:функцијата зема вредности во опсег на реалните броеви, освен во областа -1 до 1
:<math> -\infty < \operatorname{sec}(x)  \le -1 \quad \cup \quad 1 \le \operatorname{sec}(x) < +\infty </math>
* Парност
:функција е непарна
:<math>\operatorname{sec}(-x) = \operatorname{sec}(x)</math>
* Периодичност
:функцијата е периодична со основна периода 2π
:<math>\operatorname{sec}(x+2\pi) = \operatorname{sec}(x)</math>
* Асимптоти
:функцијата има вертикални асимптоти во точките
:<math>x = \left(n\right)\cdot\pi\,; \,n\in\mathbb{Z}</math>
:функцијата нема хоризонтални и коси асимптоти
* Нули на функцијата
:функцијата нема нули
* Монотоност на функцијата
* Екстреми
:нема глобален екстрем
::локален минимум
::<math>\operatorname{cosec}((2 n+1/2) \cdot \pi) = 1\,; \,n\in\mathbb{Z}</math>
::локален максимум
::<math>\operatorname{cosec}((2 n-1/2) \cdot \pi) = 1\,; \,n\in\mathbb{Z}</math>
* Превојни точки
:функцијата нема превојни точки

=== Извод од функцијата ===
Првиот извод од функцијата е
: <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\csc(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\mathrm{1}}{\sin(x)} = \frac{-\cos(x)}{\sin^2(x)} = - \csc(x) \cdot \cot(x)
 = - \frac{\csc^2(x)}{\sec(x)}</math>

=== Интеграл ===
Неодредениот интеграл на функцијата е 
: <math>\int\csc(x)\,\mathrm dx=\ln\left|\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}\right|+C = \ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right|+C</math>

===Комплексен аргумент===

: <math>\csc(x + \mathrm{i} \!\cdot\! y) = \frac{-2\sin(x)\cosh(y)}{\cos(2x) - \cosh(2y)} + \mathrm{i} \; \frac{2\cos(x)\sinh(y)}{\cos(2x) - \cosh(2y)}
</math> &nbsp;&nbsp;mit <math> x,y \in \mathbb{R}</math>

== Наводи ==
{{наводи}}

== Надворешни врски ==
{{Commonscat|Cosecant function}}
* Eric W. Weisstein: [http://mathworld.wolfram.com/Secant.html ''Secant''] und [http://mathworld.wolfram.com/Cosecant.html ''Cosecant''] auf [[MathWorld]]
* [http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Csc/ Функцијата косеканс на wolfram.com]

== Литература ==
* Бронштајн, Семендјајев, ''Справочник по математике дља инжењеров и учахчихсја втузов'', Москва, »Наука«, 1980

{{Тригонометриски и хиперболични функции}}

{{Нормативна контрола}}
[[Категорија:Тригонометрија]]
[[Категорија:Тригонометриски функции]]