Преглед на кодот на Лоренцова сила

{{electromagnetism|cTopic=Electrodynamics}}

'''Лоренцова сила''' — комбинација на електрични и магнетни [[сила|сили]] на [[точкест полнеж]] предизвикани од [[електромагнетно поле|електромагнетните полиња]]. Ако честичка со полнеж ''q'' се движи со брзина '''v''' во присуство на електрично поле '''E''' и магнетно поле '''B''', при што на исттот ќе делува сила:

: <math>\mathbf{F} = q\left[\mathbf{E} + (\mathbf{v} \times \mathbf{B})\right]</math>

(во [[Меѓународен систем на мерни единици|SI единици]]). Различните записи на оваа основна формула ги опишуваат магнетните сили на жицата преносител на електричната струја (понекогаш наречена ''Лапласова струја''), [[електромоторна сила|електромоторната сила]] во жичена намотка која се движи низ магнетно поле (опфатено со [[Фарадеев закон за индукција|Фарадеевиот закон за индукција]]), и силата на наелектризирана честичка, која можно е да се движи со брзина блиска до [[брзина на светлината|брзината на светлината]] ([[специјална релативност|релативистички]] овлик на Лоренцовата сила).

Лоренцовата сила за прв пат е математички изведена од страна на [[Оливер Хевисајд]] во 1889 година,<ref name=Nahin/> иако некои историчари тврдат дека истата се споменува во трудовите на [[Џејмс Кларк Максвел]].<ref name=Huray/> [[Хендрик Лоренц]] ја извел неколку години по Хевисајд.

==Равенка (SI единици)==

{{Главна статија|Меѓународен систем на мерни единици}}

===Наелектризирана честичка===

[[File:Lorentz force particle.svg|200px|thumb|Лоренцовата сила '''F''' на една [[наелектризирана честичка]] (со [[електричен полнеж|полнеж]] ''q'') во движење (моментална брзина '''v'''). [[електрично поле|'''E''' полето]] и [[магнетно поле|'''B''' поле]] се менува во просторот и времето.]]

[[Сила]]та '''F''' дејствува на [[електричен полнеж]] ''q'' со моментална [[брзина]] '''v''', под дејство на надворешно [[електрично поле]] '''E''' и [[магнетно поле]] '''B''', се определува со:<ref name=Jackson2/>

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math>\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B})</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}

каде <big>×</big> е [[векторски производ]]. Сите [[задебелени (текст)|задебелени]] ознаки се [[вектор]]и. Подетално запишано:

:<math>\mathbf{F}(\mathbf{r},\mathbf{\dot{r}},t,q) =  q[\mathbf{E}(\mathbf{r},t) + \mathbf{\dot{r}} \times \mathbf{B}(\mathbf{r},t)]</math>

каде '''r''' е [[радиус-вектор]]от на наелектризираната честичка, ''t'' е времето, а точката одозгора е [[временски извод|временскиот извод]].

Позитивно наелкетризирана честичка ќе биде забрзана во истата линиска насока на '''E''' полето, но ќе скршне нормално на векторот на брзината '''v''' и '''B''' полето во согласност со [[правило на десната рака|правилото на десната рака]] (подетално, ако палецот на десната рака ја покажува брзината '''v''' а показалецот магнетното поле '''B''', тогаш средниот прст ја покажува силата '''F''').

Поимот ''q'''''E''' се нарекува '''електрична сила''', додека пак поимот ''q'''''v''' <big>×</big> '''B''' се нарекува '''магнетна сила'''.<ref name=Griffiths1>See Griffiths page 204.</ref> Според некои дефиниции, поимот „Лоренцова сила“ се однесува специјално на формулата на магнетната сила,<ref name=Griffiths2>For example, see the website of the "Lorentz Institute": \[http://ilorentz.org/history/lorentz/lorentz.html], or Griffiths.</ref> со ''вкупната'' електромагнетна сила (вклуќувајќи ја електричната сила) со некои други имиња. Во оваа статија нема да се следи оваа номенклатура: во текстот кој следи поимот „Лоренцова сила“ ќе се однесува само на изразот на вкупната сила.

Компонентата на магнатната сила од Лоренцовата сила се прикажува како силата која дејствува на [[жица]]та носител на [[електричната струја|струја]]та во [[магнетно поле|магнетното поле]]. Наречена и '''Лапласова сила'''.

===Непрекинета распределба на полнежот===

[[File:Lorentz force continuum.svg|200px|thumb|Лоренцовата сила (на единица волумен) '''f''' при неорекината распределба на [[полнеж]]от ([[густина на полнеж|густината на полнежот]] ρ) во движење. [[густина на струјата|Густината на струјата]] '''J''' соодествува на движењето на наелектризираниот елемент ''dq'' во [[волуменски елемент|волуменскиот елемент]] ''dV'' и се менува низ континуумот.]]

За непрекинатата [[распределба на полнежот]] во движење, равенката на Лоренцовата сила станува:

:<math>\mathrm{d}\mathbf{F} = \mathrm{d}q\left(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}\right)\,\!</math>

каде ''d'''''F''' е силата на мал дел од распределениот полнеж со набој ''dq''. На двете страни на оваа равенка се поделени со волуменот на малиот дел на распределениот полнеж ''dV'', се добива:

:<math>\mathbf{f} = \rho\left(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}\right)\,\!</math>

каде '''f''' е ''густината на силата'' (сила на единица волумен) и ''ρ'' кое е [[густина на полнежот|густината на полнежот]] (полнеж на единица волумен). Понатаму, [[густина на полнежот|густината на полнежот]] е еднаква со движењњето на полнежот во континуумот е: 

:<math>\mathbf{J} = \rho \mathbf{v} \,\!</math>

па во продолжение аналогот на равенката<ref name="Electrodynamics 1999">{{cite book|last=Griffiths|first=David J.|title=Introduction to electrodynamics|year=1999|publisher=Prentice Hall|location=Upper Saddle River, New Jersey [u.a.]|isbn=978-0-13-805326-0|edition=3rd |others= reprint. with corr.}}</ref>

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math>\mathbf{f} = \rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B}\,\!</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

Вкупната сила е [[волуменски интеграл]] кој го опфаќа распределениот полнеж:

:<math> \mathbf{F} = \iiint \! ( \rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B} )\,\mathrm{d}V. \,\!</math>

Со отстранување на ρ и '''J''', користејќи ги [[Максвелови равенки|Максвеловите равенки]], и со употреба на  теоремите за [[векторско сметање]], овој облик на равенката може да се искористи за добивање на [[Максвелов тензор|Максвеловиот тензор]] '''σ''', пото ова може да се искомбинира со [[Поинтингов вектор|Поинтинговиот вектор]] '''S''' за да се добие [[електромагнетниот тензор]] '''T''' кој се користи во [[општа релативност|општата релативност]].<ref name="Electrodynamics 1999"/>

Со други зборови '''σ''' и '''S''', друг начин да се запише Лоренцовата сила (на единица волумен) е:<ref name="Electrodynamics 1999"/>

:<math> \mathbf{f} = \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} - \dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial \mathbf{S}}{\partial t}  \,\!</math>

каде ''c'' е [[брзина на светлината|брзината на светлината]] и ∇· ја означува [[дивергенција]]та на [[тензорско поле|тензорското поле]]. Наместо количеството на полнеж и неговата брзина во електричните и магнетните полиња, оваа равенка се поврзува со [[енергетски флукс|енергетскиот флукс]] (текот на ''енергија'' во единица време во единица растојание) во полињата во кои дејствува силата при распределбата на полнежот. Погледајте [[Коваријантен запис на класичниот електромагнетизам#континуум на полнежот|Коваријантен запис на класичниот електромагнетизам]] за повеќе детали.

==Историја==

{{multiple image
   | align = right
   | position
   | direction = horizontal
   | footer = [[наелектизрана честичка|Наелектризирани честички]] под дејство на Лоренцовата сила.
   | image1    = Lorentz force.svg
   | caption1  = Тректоријта на честичка со позитивен или негативен полнеж ''q'' под влијание на магнетното поле ''B'', кое е насочено номално на екранот.
   | width1     = 250
   | image2    = Cyclotron motion.jpg
   | caption2  = Сноп електрони кои се движат во круг, под дејство на магнетното поле. Се оддава виолетова светлина по должината на патеката на електроните, поради судирите на еклектроните со молекулите на гасот во светликата. Во овој пример се користи [[телетронска цевка]].
   | width2     = 250
  }}
Раните обиди за квантитативно опишување на електромагнетната сила биле спроведени во средината на {{римски|18}} век. Било предложено од страна на [[Јохан Тобијас Мејер]] и други во 1760 година дека силата на магнетните полови, и електрично наелектризираните објекти, во 1762 година [[Хенри Кевендиш]], забележал дека тие се покоруваат на [[обратно-квадратниот закон]]. Сепак, и во двата случаи експерименталниот доказ бил нецелосен ниту пак давал одреден заклучок. Се до 1784 година ситуацијата не се променила, во таа година [[Шарл Огистен де Кулон]], користејќи [[усучно нишало]], успеал да покаже дека ова било вистина.<ref>
{{Cite book
|first = Herbert W.
|last = Meyer
|title = A History of Electricity and Magnetism
|place = Norwalk, Connecticut
|publisher = Burndy Library
|year = 1972
|pages = 30–31
|isbn = 0-262-13070-X}}</ref> Наскоро по ова откритие во 1820 година [[Ханс Кристијан Ерстед]] покажал дека на магнетната игла влијае волтаичната струја, [[Андре-Мари Ампер]] вомистата година успеал да осмисли преку ексоериментирањето формула за аголната зависност од двете компоненти на електромагнетната сила.<ref>
{{Cite book
|first = Gerrit L.
|last = Verschuur
|title = Hidden Attraction : The History And Mystery Of Magnetism
|place = New York
|publisher = Oxford University Press
|isbn = 0-19-506488-7
|year = 1993
|pages = 78–79}}</ref><ref>
{{Cite book
|first = Olivier
|last = Darrigol
|title = Electrodynamics from André Ampère to Albert Einstein
|place = Oxford, [England]
|publisher = Oxford University Press
|isbn = 0-19-850593-0
|year = 2000
|pages = 9, 25
|postscript = <!--None-->}}</ref> Во сите овие записи, силата отсекогаш била определена од условите на својствата на телата и растојанието меѓу истите, отколку од силината на електричното и магнетното поле.<ref>
{{Cite book
|first = Gerrit L.
|last = Verschuur
|title = Hidden Attraction : The History And Mystery Of Magnetism
|place = New York
|publisher = Oxford University Press
|isbn = 0-19-506488-7
|year = 1993
|page = 76}}</ref>

Современиот концепт на електричното и магнетното поле започнува во теориите на [[Мајкл Фарадеј]], особено неговата идеја за [[линии на силата]], за подоцна истата да добие целосен математички опис од страна на [[Вилијам Томсон Келвин|Лорд Келвин]] и [[Џејмс Кларк Максвел]].<ref>
{{Cite book
|first = Olivier
|last = Darrigol
|title = Electrodynamics from André Ampère to Albert Einstein
|place = Oxford, [England]
|publisher = Oxford University Press
|isbn = 0-19-850593-0
|year = 2000
|pages = 126–131, 139–144
|postscript = <!--None-->}}</ref> Гледено денес можно да се препознае максвеловиот запис на равенките од 1865 година еден облик на равенката за Лоренцовата сила во однос на електричните струи,<ref name=Huray>
{{Cite book
|first = Paul G.
|last = Huray
|title = Maxwell's Equations
|publisher = Wiley-IEEE
|isbn = 0-470-54276-4
|year = 2009
|page = 22
|url = http://books.google.com/books?id=0QsDgdd0MhMC&pg=PA22#v=onepage&q&f=false}}</ref> сепак, во времето на Максвел не било очигледно како овие равенки ги поврзуваат силите кај полнежите во движење. [[Џ.Џ. Томсон]] бил првиот кој се обидел да ги изведе од Максвеловите равенки за полето, електромагнетните сили кои дејствуваат на наелектризирано тело во движење, т.е својствата на телото и надворешните полиња. Заинтересиран да ги определи електромагнетните својства на наелктризираните честички кај [[катодни зраци|катодните зраци]], томсон објавил труд во 1881 година каде тој силата која дејствува на честичките под ејство на надворешно магнетно поле ја пресметал со равенката:<ref name=Nahin>[http://books.google.com/books?id=e9wEntQmA0IC&pg=PA120 Oliver Heaviside By Paul J. Nahin, p120]</ref>

:<math>\mathbf{F} = \frac{q}{2}\mathbf{v} \times \mathbf{B}.</math>

Томсон го извел точниот облик на формулата, но, порсди некој помали грешки во пресметките и нецелосниот опис на [[придвижна струја|придвижната струја]], вклучил неточен големински фактор од половина пред самата формула. Токму [[Оливер Хевисајд]], кој го има измислено современото векторско запишување и го применил кај Максвеловите равенки за полето, па так во 1885 година и 1889 година ги исправил грешките во томсоновото изведување и дошол до точниот запис на на магнетната сила која дејствува на наелектризирано тело во движење.<ref name=Nahin/><ref>
{{Cite book
|first = Olivier
|last = Darrigol
|title = Electrodynamics from André Ampère to Albert Einstein
|place = Oxford, [England]
|publisher = Oxford University Press
|isbn = 0-19-850593-0
|year = 2000
|pages = 200, 429–430
|postscript = <!--None-->}}</ref><ref>{{cite paper | author= Heaviside, Oliver| title=On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a Dielectric | journal=Philosophical Magazine, April 1889, p. 324 |url=http://en.wikisource.org/wiki/Motion_of_Electrification_through_a_Dielectric}}</ref> Конечно, во 1892 година, [[Хендрик Лоренц]] го извел современиот облик на формулата за електромагнетната сила која ги вклучувалча и придонесите на вкупната сила на електричното и магнетното поле. Лоренц започнал да го напушта максвеловите описи на етерот и условите кои владеат во истиот. Наместо тоа, Лоренц направил разлика меѓу матријата и [[етер]]от и сакал да ги искористи Максвеловите равенки на микроскопско ниво. Користејќи ја Хевисајдовата верзија на Максвеловите равенки за стационарен етер и употребувајќи ја [[Лагранжова механика|Лангражовата механика]] (Погледајте подолу), Лоренц го добил точниот и целосниот облик на законот за силата кој денес го носи неговото име.<ref>
{{Cite book
|first = Olivier
|last = Darrigol
|title = Electrodynamics from André Ampère to Albert Einstein
|place = Oxford, [England]
|publisher = Oxford University Press
|isbn = 0-19-850593-0
|year = 2000
|page = 327
|postscript = <!--None-->}}</ref><ref>
{{cite book
|last = Whittaker
|first = E. T.
|title = A History of the Theories of Aether and Electricity: From the Age of Descartes to the Close of the Nineteenth Century
|publisher = Longmans, Green and Co.
|year = 1910
|pages = 420–423
|url = http://books.google.com/books?id=CGJDAAAAIAAJ&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false
|isbn = 1-143-01208-9}}</ref>

==Траекториите на честичките под дејство на Лоренцовата сила==
{{Главна статија|Водечки ценатар}}

[[File:charged-particle-drifts mk.svg|300px|thumbnail|right|'''Придвижувања на полнежите''' во хомогено магнетно поле. (A) без присуство на сила (Б) во електрично поле, E (В) во независна сила, F (пример гравитацијата) (Г) во нехомогено магнето поле, како градиент H]]
Во многу случаи со практична примена, движењето на [[магнетно поле|магнетното поле]] на [[електричен полнеж|електрично наелектризираната]] честичка (како што е [[електрон]]от или [[јон]]от во [[плазма (физика)|плазмата]]) може да се разгледува како суперпозиција на релативно брзо кружно движење околу точка наречена '''водечки центар''' и релативно спорото '''придвижување''' на оваа точка. Брзината на придвижувањето може да биде различна за различни видови во зависност од нивната наелектризираност, маса или температура што најверојатно доведува до создавање на електрични струи или хемиски раздвојувања.

==Значењето на Лоренцовата сила==

Додека современите Максвелови равенки опишуваат како електрично наелектризираните честички и струи или пак подвижните наелектризирани честички создаваат електрични и магнетни полиња, Лоренцовиот закон за силата ја дооформува оваа слика преку опишување на силата која влијае на подвижен точкест полнеж ''q'' во присуство на електромагнетни полиња.<ref name=Jackson2>See Jackson page 2. The book lists the four modern Maxwell's equations, and then states, "Also essential for consideration of charged particle motion is the Lorentz force equation, '''F''' = ''q'' ( '''E'''+ '''v <big>×</big> B''' ), which gives the force acting on a point charge ''q'' in the presence of electromagnetic fields."</ref><ref name=Griffiths50>See Griffiths page 326, which states that Maxwell's equations, "together with the [Lorentz] force law...summarize the entire theoretical content of classical electrodynamics".</ref> Лоренцовиот закон за силата го опишува ефектот на '''E''' и '''B''' на точкест полнеж, но овие електромагнетни сили не ја оформуваат целата слика. Наелектризираните честички можно е да се свзани со други сили, особено гравитационата или пак нуклеарната сила. Па оттука се заклучува дека Максвеловите равенки, не можат да бидат независни од останатите физички закони, туку станува збор за поврзаност преку полнежот и густините на струите. Реакцијата на точкестиот полнеж на Лоренцовиот закон е еден вид на создавање '''E''' и '''B''' полиња од страна на струите додека пак создавањето со помош на полнежите е другиот вид на создавање на полињата.

Во материјалите Лоренцовата сила е несоодветна за опишување на однесувањето на наелектризираните честички, како во принцип така и во пресметувањето. Наелектризираните честички во материјалната средина заедно реагираат на '''E''' и '''B''' полиња и создавањето на овие полиња. Сложените преносни равенки мора да бидат решени за да се определи временското и порсторното дејство на полнежите, на пример, [[Болцманова равенка|Болцмановата равенка]] или пак [[Фокер-Планкова равенка|Фокер-Планковата равенка]] како и [[Навје-Стоксови равенки|Навје-Стоксовите равенки]]. На пример, Погледајте [[магнетохидродинамика]], [[динамика на течности]], [[електрохидродинамика]], [[суперпроводливост]], [[ѕвезден развој]]. Посотои физички апарат за справување со овие проблеми. Погледајте ги на пример, [[Грин–Кубови формули|Грин-Кубовите формули]] и [[Гринова функција (теорија на повеќе тела)|Гриновата функција]].

==Лоренцовиот закон за силата определен преку E и B==

Во многу учебници во кои се разгледува класичниот електромагнетизам, Лоренцовиот закон за силата се користи како дефиниција на електричното и магнетното полев '''E''' и '''B'''.<ref name=Jackson20>See, for example, Jackson p777-8.</ref><ref>{{cite book|title=Gravitation|author=J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne|publisher=W.H. Freeman & Co|year=1973|pages=72–73|isbn=0-7167-0344-0}}. These authors use the Lorentz force in tensor form as definer of the electromagnetic tensor ''F'', in turn the fields '''E''' and '''B'''.</ref><ref>{{cite book|title=Electromagnetism|edition=2nd|author=I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics|publisher=John Wiley & Sons|year=2008|page=122|isbn=978-0-471-92712-9}}</ref> Поточно, Лоренцовата сила се разгледува на начин кој ја следи следнава искуствена изјава:

:''Електромагнетната сила '''F''' на [[test charge]] во одредена точа и време е одредена функција од нејзиниот полнеж ''q'' и брзината '''v''', која може да се параметризира од точно два вектори '''E''' и '''B''', во функционалниот облик'':

::<math>\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})</math>

Ова ''е'' точно, во бројните опити кои дури покажале дека истото важи и за честички кои се приближуваар до [[брзина на светлината|брзината на светлината]] (станува збор за, [[норма (математика)#евклидова норма|големина]] на '''v''' = |'''v'''| = ''c'').<ref>{{cite book|title=Electromagnetism (2nd Edition)|author=I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics|publisher=John Wiley & Sons|year=2008|page=123|isbn=978-0-471-92712-9}}</ref> Па така двете [[векторско поле|векторски полиња]] '''E''' и '''B''' се дефинирани низ просторот и времето, и истите се наречени „електрично поле“ и „магнетно поле“. Се забележува дека полињата се дефинирани во времето и просторот во однос на силата која би ја попримил тестирачки полнеж без зависност дали е присутен полнеж на кого би дејствувале силите.

Се забележува дека и кај дефиницијата на '''E''' и '''B''', Лоренцовата сила е само дефиниција на начелото бидејќи вистинската честичка (наспроти хипотетичкиот „тестирачки полнеж“ на бесконо малата маса на полнежот) ќе создаде сопствено конечно '''E''' и '''B''' поле, кои пак ќе ја изменат електромагнетната сила која ја чуствуваат. Во продолжение, доколку полнежот забрзува, како да е присилен да се движи по закривена патека од надворешно дејство, тоа емитува зрачење кое предизвикува iнарушување на сопственото движење. Погледајте на пример [[закочно зрачење]] и [[синхотронска светлина]]. Овие ефекти се случуваат преку директен ефект (наречен [[Абрахам–Лоренцова сила|зрачна реактивна сила]]) и индиректно (преку влијание на движењето на блискиот полнежи и струи). Дополнително, вкупната сила мора да ја вклучува [[гравитација]]та, [[електрослабо заемодејство|електрослабото заемодејство]], и други сили покрај електромагнетната сила.

==Сила во струјо-преносна жица==

[[File:Regla mano derecha Laplace.svg|right|thumb|250px|Правилото на десната рака за струјо-преносна жица во магнетно поле B]]

Кога [[жица]]та која пренесува [[електрична струја]] е сместена во магнетно поле, секој од полнежите во движење, кои ја сочинуваат струјата, се под дејство на Лоренцовата сила, и заедно тие можат са создадат макроскопска сила во жицата (понекогаш наречена '''Лапласова сила'''. Со комбинирање на Лоренцовиот закон за силата од погоре со дефинирањето на електричната струја, се добива следната равенка, во случајот на права, неподвижна жица:

:<math>\mathbf{F} = I \boldsymbol{\ell} \times \mathbf{B} \,\!</math>

каде '''ℓ''' е вектор чија големина е должината на жицата, и чија насока е по должината на жицата, подредена со насоката на текот на [[електрична струја|електричната струја]] ''I''.

Доколку жицата не е права туку е закривена, силата која дејствува на истата може да се пресмета со применување на формулата за секое [[бесконечно мало]] делче на жицата  ''d'''''ℓ''', па со собирањето на сите овие сили преку [[интегрирање]]. Вообичаено, вкупната сила на неподвижна, крута жица која пренесува постојана струја ''I'' е

:<math>\mathbf{F} = I\int \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times \mathbf{B}</math>

Ова е вкупната сила. Во продолжение, тука сепак ќе постои [[момент на сила]], како и други ефекти доколку жицата не е крута.

Една примена е [[Амперов закон за сила|Амперовата сила]], која опишува како две струјо-преносни жици можат да се привлекуваат или одбиваат една од друга, бидејќи секоја ја чуствува Лоренцовата сила од магнетното поле на другата жица. За повеќе информации, Погледајте ја статијата: [[Амперов закон за сила|Амперовата сила]].

==ЕМС==

Магнетната сила (''q'' '''v''' <big>×</big> '''B''') компонента на Лоренцовата сила е одговорна за ''подвижната'' [[електромоторна сила]] (или ''подвижната ЕМС''), појавата која е основата на многуте [[генератор|електрични генератори]]. Кога [[електричен проводник|проводник]] се движи низ магнетно поле, магнетната сила се обидува да ги истурка [[електрон]]ите низ жицата, и ова ја создава ЕМС. Поимот „подвижната ЕМС“ е применета кај оваа појава, бидејќи ЕМС настанува под дејство на ''движењето'' на жицата.

Во останатите електрични генератори, магнетите се тие кои се движат, додека пак проводниците се неподвижни. Во овој случај, ЕМС настанува под дејство на електричната сила (''q'''''E''') компонентата од равенката за Лоренцовата сила. Електричното поле се создава поради променливото магнетно поле, што резултира во ''индуцирана'' ЕМС, опишана во [[електромагнетна индукција#Максвел-Фарадеева равенка|Максвел–Фарадеевата равенка]] (едба од четирите современи [[Максвелови равенки]]).<ref name=Griffiths302>See Griffiths pages 301–3.</ref>

Двете од овие ЕМС, покрај нивните различни начини на настанување, може да се опише со истата равенка, имено, ЕМС е чекорот на промена на [[магнетен флукс|магнетниот флукс]] низ жицата. (Ова е Фарадеевиот закон за индукција, Погледајте [[Лоренцова сила#Лоренцовата сила и Фарадеевиот закон за индукција|погоре]].) Ајнштајновата [[специјална теорија за релативност]] била мотивирана од желбата за подобро разбирање на врската меѓу овие два ефекти.<ref name=Griffiths302/> Всушност, електричното и магнетното поле се различни лица на една иста појава, електромагнетното поле, и движејќи се од една [[инерцијална рамка]] во друга, [[солеидно векторско поле|солеидното векторско поле]] како дел од ''E''-поле, може во целина или делумно да премине во ''B''-поле или ''обратно''.<ref name=Chow>
{{cite book
|author=Tai L. Chow
|title=Electromagnetic theory
|year= 2006
|page =395
|publisher=Jones and Bartlett
|location=Sudbury MA
|isbn=0-7637-3827-1
|url=http://books.google.com/?id=dpnpMhw1zo8C&pg=PA153&dq=isbn=0763738271}}
</ref>

==Лоренцовата сила и Фарадеевиот закон за индукција==
{{Главна статија|Фарадеев закон за индукција}}

Имајќи намотка на жица во [[магнетно поле]], Фарадеевиот закон за индукција гласи дека индуцираната [[електромоторна сила]] (ЕМС) во жицата изнесува:

:<math>\mathcal{E} = -\frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}</math>

каде

:<math> \Phi_B = \iint_{\Sigma(t)} \mathrm{d} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}(\mathbf{r}, t)</math>

е [[магнетен флукс|магнетниот флукс]] низ намотката, '''B''' е [[магнетното поле]], Σ(''t'') е површината образована од затворената контура ∂Σ(''t''), при време ''t'', d'''A''' е бесконечно малиот [[површински вектор|векторски]] елемент на Σ(''t'') (величината е површината на бесконечномалиот дел од површината, насоката е [[нормална]] на тој дел од површината).

''Знакот'' на ЕМС е определен од [[Ленцов закон|Ленцовиот закон]]. Се зема во предвид дека ова важи не само за ''неподвижна'' жица&nbsp;— туку и за ''подвижна'' жица.

Од [[Фарадеев закон за индукција|Фарадеевиот закон за индукција]] (важи за подвижна жица, на пример во моторите) и [[Максвелови равенки|Максвеловите равенки]], може да се изведе Лоренцовата сила. Важи и обратното, Лоренцовата сила и [[Максвелови равенки|Максвеловите равенки]] можат да се употребат за иведување на [[Фарадеев закон за индукција|Фарадеевиот закон]].

Нека Σ(''t'') е подвижната жица, движејќи се без вртење и со постојана брзина '''v''' и Σ(''t'') е внатрешната површина на жицата. ЕМС околу затворена контура ∂Σ(''t'') е определена со:<ref name=Landau>
{{cite book
|author=Landau, L. D., Lifshit︠s︡, E. M., & Pitaevskiĭ, L. P.
|title=Electrodynamics of continuous media; Volume 8  ''Course of Theoretical Physics''
|year= 1984
|page =§63 (§49 pp. 205–207 in 1960 edition)
|edition=Second
|publisher=Butterworth-Heinemann
|location=Oxford
|isbn=0-7506-2634-8
|url=http://worldcat.org/search?q=0750626348&qt=owc_search}}
</ref>

:<math>\mathcal{E} =\oint_{\partial \Sigma (t)} \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} \cdot \mathbf{F} / q</math>

каде

:<math>\mathbf{E} = \mathbf{F} / q</math>

е електричното поле и d'''ℓ''' е [[бесконечно мал|бесконечно малиот]] векторски елемент на контирата ∂Σ(''t'').

Патем: d'''ℓ''' и d'''A''' имаат променлив знак, за да се определи точниот знак, се користи [[правило на десната рака|правилото на десната рака]], како што е објаснето во статијата за [[Келвин-Стоксова теорема|Келвин-Стоксовата теорема]].

Горниот резултат може да се спореди со верзијата на [[Фарадеев закон за индукција|Фарадеевиот закон за индукција]] кој се појавува во современите [[Максвелови равенки]], кои во статијата се наречени ''Максвел-Фарадеева равенка'':

:<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \ .</math>

Максвел-Фарадеевата равенка може да биде запишана и во ''интегрален облик'' користејќи ја [[Келвин-Стоксова теорема|Келвин-Стоксовата теорема]]:.<ref name=Harrington>
{{cite book
|author=Roger F Harrington
|title=Introduction to electromagnetic engineering
|year= 2003
|page =56
|publisher=Dover Publications
|location=Mineola, New York
|isbn=0-486-43241-6
|url=http://books.google.com/?id=ZlC2EV8zvX8C&pg=PA57&dq=%22faraday%27s+law+of+induction%22}}
</ref>

Па така се добива, Максвел-Фарадеевата равенка:

:<math> \oint_{\partial \Sigma(t)}\mathrm{d} \boldsymbol{\ell} \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r},\ t) = - \  \iint_{\Sigma(t)}  \mathrm{d} \mathbf {A} \cdot {{\mathrm{d} \,\mathbf {B}(\mathbf{r},\ t)} \over \mathrm{d}t } </math>

и Фарадеевиот закон,

:<math> \oint_{\partial \Sigma(t)}\mathrm{d} \boldsymbol{\ell} \cdot \mathbf{F}/q(\mathbf{r},\ t) = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}  \iint_{\Sigma(t)}  \mathrm{d} \mathbf {A} \cdot \mathbf{B}(\mathbf{r},\ t). </math>

Двете се еквивалентни доколку станува збор за неподвижна жица. Употребувајќи го [[Лајбницово интегрално правило|Лајбницовото интегрално правило]] и дека ''div'' '''B''' = 0, се добива,

:<math> \oint_{\partial \Sigma(t)} \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} \cdot \mathbf{F}/q(\mathbf{r}, t) = 
- \iint_{\Sigma(t)}  \mathrm{d} \mathbf{A} \cdot \frac{\partial}{\partial t} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) +
\oint_{\partial \Sigma(t)} \!\!\!\!\mathbf{v} \times \mathbf{B} \,\mathrm{d} \boldsymbol{\ell}
</math>

и кортистејќи ја Максвел-Фарадеевата равенка,

:<math> \oint_{\partial \Sigma(t)} \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} \cdot \mathbf{F}/q(\mathbf{r},\ t) = 
\oint_{\partial \Sigma(t)} \mathrm{d} \boldsymbol{\ell} \cdot \mathbf{E}(\mathbf{r},\ t)  +
\oint_{\partial \Sigma(t)}\!\!\!\! \mathbf{v} \times \mathbf{B}(\mathbf{r},\ t)\, \mathrm{d} \boldsymbol{\ell}
</math>

бидејќи ова важи за која и да е местоположба на жицата важи,

:<math> \mathbf{F}= q\,\mathbf{E}(\mathbf{r},\ t)  + q\,\mathbf{v} \times \mathbf{B}(\mathbf{r},\ t).</math>

Фарадеевиот закон за индукција важи без разлика дали намотката на жицата е крута и неподвижна, или е во движење и притоа се деформира, и важи без разлика дали магнетното поле е постојано или пак се менува со текот на времето. Сепак, постојат случаи каде Фарадеевиот заккон е несоодветен или пак тежок за употреба, па потребно е да се искорити Лоренцовиот закон за силата. Погледајте [[Фарадеев парадокс#неприоменливост на Фарадеевиот закон|неприменливост на Фарадеевиот закон]].

Доколку магнетното поле е сврзано со времето и проводната намотка се движи низ полето, магнетниот флукс Φ<sub>''B''</sub> кој е поврзан со намотката може да се промени на неколку начини. На пример, ако '''B''' - полето се менува со местоположбата, и ако намотката се движи кон местоположба со друго '''B'''- поле, Φ<sub>''B''</sub> се менува. Со други зборови, доколку намотката ја смени насоката во однос на '''B''' - поле, '''B''' • d'''A''' диференцијалниот елеменент ќе се промени проади различниот агол меѓу '''B''' и d'''A''', со што се менува и Φ<sub>''B''</sub>. Како трет пример, Ако дел од колото се протне низа истородно, временски независно '''B'''- поле, и другиот дел од колото е неподвижен, флуксот кој го поврзува целото коло може да се промени поради промената на релативната местоположба  на колото со текот ба времето (површината ∂Σ(''t'') е временски зависна). Во сите три случаи, Фарадеевиот закон за индукција ја предвидува ЕМС создадена од промената на Φ<sub>''B''</sub>.

Се забележува дека Максвел-Фарадееват равенка тврди дека електричното поле '''E''' не се запазува кога амгнетното поле '''B''' се менува со текот на времето, и не може да се изрази како градиентот на [[скаларно поле|скаларното поле]], и не е под дејство на [[градиентна теорема|градиентната теорема]] бидејќи сопствениот ротор не е нула.Погледајте.<ref name="Landau"/><ref>{{cite book
|author=M N O Sadiku
|title=Elements of elctromagnetics
|year= 2007
|page =391
|edition=Fourth
|publisher=Oxford University Press
|location=NY/Oxford
|isbn=0-19-530048-3
|url=http://books.google.com/?id=w2ITHQAACAAJ&dq=ISBN0-19-530048-3}}</ref>

==Лоренцовата сила изразена преку потенцијалите==

{{Главна статија|Математички описи на електромагнетното поле|Максвелови равенки|Хелмхолцова теорема}}

'''E''' и '''B''' полињата можат да се заменат со [[магнетен векторски потенциојал|магнетниот векторски потенцијал]] '''A''' и ([[скалар (математика)|скаларниот]]) [[електростатички потенцијал]] ''ϕ''  од

:<math> \mathbf{E} = - \nabla \phi - \frac { \partial \mathbf{A} } { \partial t }</math>
:<math>\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}</math>

каде ∇ е симбол за [[градиент]], ∇• е [[дивергенција]], ∇ <big>×</big> е [[ротор (математика)|ротор]].

Па силата станува

:<math>\mathbf{F} = q\left[-\nabla \phi- \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}+\mathbf{v}\times(\nabla\times\mathbf{A})\right]</math>

и користејќи го идентитетот за [[троен производ#векторски троен производ|тројниот произод]] се упростува на

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math>\mathbf{F} = q\left[-\nabla \phi- \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}+ \nabla(\mathbf{v}\cdot\mathbf{A})-(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{A} \right]</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

користејќи го [[извод на сложена функција|изводот на сложената функција]], [[вкупниот извод]] од '''A''' е:

:<math>\frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{A} </math>

па така горниот израз може да се презапише на следниот начин;

:<math>\mathbf{F} = q\left[-\nabla (\phi-\mathbf{v}\cdot\mathbf{A})- \frac{d\mathbf{A}}{\mathrm{d}t}\right]</math>

која пак може да биде запишана со пригодниот Ојлер-Лангранжов облик

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math>\mathbf{F} = q\left[-\nabla_{\mathbf{x}}(\phi-\dot{\mathbf{x}}\cdot\mathbf{A})+ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\nabla_{\dot{\mathbf{x}}}(\phi-\dot{\mathbf{x}}\cdot\mathbf{A})\right]</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

==Лоренцовата сила и аналитичката механика==

{{Поврзано|Импулс (механика)#Лагранжов и Хамилтонов запис|l1=Импулс}}

[[Лагранжијан]]от за наелектризирана честичка со маса ''m'' и полнеж ''q'' во електромагнетно поле еквивелаентно ка опишува динамиката на честичката во зависност од нејзината ''енергија'', отколку од силата која дејствува на истата. Класичниот израз е даден со:<ref>Classical Mechanics (2nd Edition), T.W.B. Kibble, European Physics Series, Mc Graw Hill (UK), 1973, ISBN 0-07-084018-0.</ref>

:<math>L=\frac{m}{2}\mathbf{\dot{r}}\cdot\mathbf{\dot{r}}+q\mathbf{A}\cdot\mathbf{\dot{r}}-q\phi</math>

каде '''A''' и ''ϕ'' се потенцијалните полиња од погоре. Користејќи [[лагранжова механика|Ланранжови равенки]], може да се добие равенката за Лоренцоватѕа сила.

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
!Изведување на Лоренцовата сила од класичниот Лагранжијан (SI единици)
|-
|За '''A''' полето, честичка која се движи со брзина '''v''' = '''ṙ''' има [[импулс(механика)|импулс]] <math>q\mathbf{A}(\mathbf{r},t)</math>, па неговата потенцијална енергија е <math>q\mathbf{A}(\mathbf{r},t)\cdot\mathbf{\dot{r}}</math>. За ''ϕ'' поле, потенцијалната енергија на честичката е <math>q\phi(\mathbf{r},t)</math>.

Вкупната [[потенцијална енергија]] тогаш е:

:<math>V=q\phi-q\mathbf{A}\cdot\mathbf{\dot{r}}</math>

а [[кинетичка енергија|кинетичката енергија]] е:

:<math>T=\frac{m}{2}\mathbf{\dot{r}}\cdot\mathbf{\dot{r}}</math>

па оттука Лангражијанот:

:<math>L=T-V=\frac{m}{2}\mathbf{\dot{r}}\cdot\mathbf{\dot{r}}+q\mathbf{A}\cdot\mathbf{\dot{r}}-q\phi</math>

:<math>L=\frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2) + q(\dot{x}A_x+\dot{y}A_y+\dot{z}A_z) - q\phi</math>

Лангранжовите равенки се

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\frac{\partial L}{\partial x}</math>

(исто и за ''y'' и ''z''). По пресметуивањето на парцијалните изводи:

:<math>\begin{align}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} & =m\ddot{x}+q\frac{\mathrm{d} A_x}{\mathrm{d}t} \\
& = m\ddot{x}+ \frac{q}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial A_x}{\partial t}dt+\frac{\partial A_x}{\partial x}dx+\frac{\partial A_x}{\partial y}dy+\frac{\partial A_x}{\partial z}dz\right) \\
& = m\ddot{x}+ q\left(\frac{\partial A_x}{\partial t}+\frac{\partial A_x}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial A_x}{\partial y}\dot{y}+\frac{\partial A_x}{\partial z}\dot{z}\right)\\
\end{align}</math>

:<math>\frac{\partial L}{\partial x}= -q\frac{\partial \phi}{\partial x}+ q\left(\frac{\partial A_x}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial A_y}{\partial x}\dot{y}+\frac{\partial A_z}{\partial x}\dot{z}\right)</math>

изедначувајќи и упростувајќи се добива:

:<math>m\ddot{x}+ q\left(\frac{\partial A_x}{\partial t}+\frac{\partial A_x}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial A_x}{\partial y}\dot{y}+\frac{\partial A_x}{\partial z}\dot{z}\right)= -q\frac{\partial \phi}{\partial x}+ q\left(\frac{\partial A_x}{\partial x}\dot{x}+\frac{\partial A_y}{\partial x}\dot{y}+\frac{\partial A_z}{\partial x}\dot{z}\right)</math>

:<math>\begin{align} F_x & = -q\left(\frac{\partial \phi}{\partial x}+\frac{\partial A_x}{\partial t}\right) + q\left[\dot{y}\left(\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right)+\dot{z}\left(\frac{\partial A_z}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial z}\right)\right] \\
& = qE_x + q[\dot{y}(\nabla\times\mathbf{A})_z-\dot{z}(\nabla\times\mathbf{A})_y] \\
& = qE_x + q[\mathbf{\dot{r}}\times(\nabla\times\mathbf{A})]_x \\
& = qE_x + q(\mathbf{\dot{r}}\times\mathbf{B})_x
\end{align}</math>

слично и за насоките ''y'' и ''z''. Па оттука равенката за силата е:

:<math>\mathbf{F}= q(\mathbf{E} + \mathbf{\dot{r}}\times\mathbf{B})</math>
|}

Потенцијалната енергија зависи од брзината на честичката, па честичката е зависна од брзината, па следи дека истата не е запазувачка.

Релативистичкиот Лангранжијан е

:<math>L = -mc^2\sqrt{1-\left(\frac{\dot{\mathbf{r}}}{c}\right)^2} + e \mathbf{A}(\mathbf{r})\cdot\dot{\mathbf{r}} - e \phi(\mathbf{r}) \,\!</math>

Дејството е релативстичката [[лачна должина]] на патеката на честичката во [[време-простор|време-просторот]], минус придонесот на потенцијалната енергија, плус дополнителен придонес кој е [[квантна механика|квантно механички]] дополнителна [[фаза (бран)|фаза]] која наелектризираната честичка ја стекнува кога се движи надолж векторскиот потенцијал.

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"
!Изведување на Лоренцовата сила од релативистичкиот Лангранжијан (SI единици)
|-
|
Равенките на честичката во движење се изведени со [[варијационо сметање|доведување во крајност]] на дејството (Погледајте [[матрично сметање]]):

:<math> \frac{\mathrm{d}\mathbf{P}}{\mathrm{d}t} =\frac{\partial L}{\partial \mathbf{r}} = e {\partial \mathbf{A} \over \partial \mathbf{r}}\cdot \dot{\mathbf{r}} - e {\partial \phi \over \partial \mathbf{r} }\,\!</math>

:<math>\mathbf{P} -e\mathbf{A} = \frac{m\dot{\mathbf{r}}}{\sqrt{1-\left(\frac{\dot{\mathbf{r}}}{c}\right)^2}}\,</math>

се исти како и [[хамилтонова механика|Хамилтоновите равенки за движење]]:

:<math> \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial}{\partial \mathbf{p}}\left ( \sqrt{(\mathbf{P}-e\mathbf{A})^2 +(mc^2)^2} + e\phi \right ) \,\!</math>
:<math> \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = -{\partial \over \partial \mathbf{r}}\left ( \sqrt{(\mathbf{P}-e\mathbf{A})^2 + (mc^2)^2} + e\phi \right ) \,\!</math>

двете се еквивалентни на неканонските облици:

:<math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left ( {m\dot{\mathbf{r}} \over \sqrt{1-\left(\frac{\dot{\mathbf{r}}}{c}\right)^2}} \right ) = e\left ( \mathbf{E} + \dot\mathbf{r} \times \mathbf{B} \right ) . \,\!</math>

Оваа равенка е Лоренцовата сила, претставувајќи го чекорот со кој ЕМ поле додава релативистички импулс на честичката.
|}

==Равенка (cgs единици)==

{{Поврзано|cgs единици}}

Горе споменатата равенка е за [[SI единици]] кои најчесто се користат меѓу експерименталистите, техничарите и инжинерите. Во [[гаусови единици|cgs-Гаусови единици]], кои поретко се користат меѓу теоретските физичари, се добива

: <math>\mathbf{F} = q_\mathrm{cgs} \left(\mathbf{E}_\mathrm{cgs} + \frac{\mathbf{v}}{c} \times \mathbf{B}_\mathrm{cgs}\right).</math>

каде ''c'' е [[берзина на светлината|брзината на светлината]]. Иако ова равенка изгледа малку поинаку, целосно е еквивалентна, бидејќи важат следниве релации:

:<math>q_\mathrm{cgs}=\frac{q_\mathrm{SI}}{\sqrt{4\pi \epsilon_0}},\quad \mathbf E_\mathrm{cgs} =\sqrt{4\pi\epsilon_0}\,\mathbf E_\mathrm{SI},\quad \mathbf B_\mathrm{cgs} ={\sqrt{4\pi /\mu_0}}\,{\mathbf B_\mathrm{SI}}</math>

каде ε<sub>0</sub> е [[електрична константа|електричната константа]] и μ<sub>0</sub> е [[магнетна константа|магнетната константа]]. Во практиката, подзаписот „cgs“ и „SI“ се секогаш изоставени, користениот систем на единици треба самостојно да се процени од самиот запис.

==Релативистички облик на Лоренцовата сила==

===Коваријантен облик на Лоренцовата сила===

====Тензор на полето====

{{Главна статија|Коваријантен запис на класичниот електромагнетизам|Математички описи на електромагнетната сила}}

Користејќи го [[метрички запис|метричкиот запис]] {{nowrap|(-1, 1, 1, 1)}}, Лоренцовата сила за полнежот ''q'' може да се запише во [[Лоренцова коваријанса|коваријантен облик]]:

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math> \frac{\mathrm{d} p^\alpha}{\mathrm{d} \tau} = q U_\beta F^{\alpha \beta} </math>
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}

каде ''p<sup>α</sup>'' е [[четири-импулс|четири-импулсот]], дефиниран како

:<math>p^\alpha = \left(p_0, p_1, p_2, p_3 \right) = \left(\gamma m c, p_x, p_y, p_z \right) \, ,</math>

''τ'' е [[сопствено време|сопственото време]] на честичката, ''F<sup>αβ</sup>'' е коваријантниот [[електромагнетен тензор]]

:<math>F^{\alpha \beta} = \begin{pmatrix}
0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\
-E_x/c & 0 & B_z & -B_y \\
-E_y/c & -B_z & 0 & B_x \\
-E_z/c & B_y & -B_x & 0
\end{pmatrix}
</math>

и ''U'' е коваријантната [[четири-брзина|4-брзината]] на честичката, определена со:

:<math>U_\beta = \left(U_0, U_1, U_2, U_3 \right) = \gamma \left(-c, v_x, v_y, v_z \right) \, ,</math>

во која 

:<math>\gamma(v)=\frac{1}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1- \frac{v_x^2 + v_y^2+ v_z^2}{c^2}}}</math> 

е [[Лоренцов фактор|Лоренцовиот фактор]].

Полињата се трансформираат во рамка која се движи со постојана релативна брзина:

:<math> F'^{\mu \nu} = {\Lambda^{\mu}}_{\alpha} {\Lambda^{\nu}}_{\beta} F^{\alpha \beta} \, ,</math>

каде Λ''<sup>μ</sup><sub>α</sub>'' е тензорот на [[Лоренцова преобразба|Лоренцовата преобразба]].

====Транслација во векторски запис====

Компонентата α = 1 (''x''- компонентата) на силата е

:<math> \frac{\mathrm{d} p^1}{\mathrm{d} \tau} = q U_\beta F^{1 \beta} = q\left(U_0 F^{10} + U_1 F^{11} + U_2 F^{12} + U_3 F^{13} \right) .\,</math>

Заменувајќи ги компонентите на коваријантниот електромагнетен тензор ''F'' дава

:<math> \frac{\mathrm{d} p^1}{\mathrm{d} \tau} = q \left[U_0 \left(\frac{-E_x}{c} \right) + U_2 (B_z) + U_3 (-B_y) \right]. \,</math>

Користејќи ги компонентите на коваријантната [[четири-брзина]] се добива

:<math> \begin{align}
 \frac{\mathrm{d} p^1}{\mathrm{d} \tau} & = q \gamma \left[-c \left(\frac{-E_x}{c} \right) + v_y B_z + v_z (-B_y) \right] \\
 &= q \gamma \left(E_x + v_y B_z - v_z B_y \right) \\
 & = q \gamma \left[ E_x + \left( \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right)_x \right] \, .
\end{align} </math>

Преаметката за α = 2, 3 (компонентите на силата во насоките ''y'' и ''z'') дава слични резултати, па собирајќи ги овие 3 равенки во една:

:<math> \frac{\mathrm{d} \mathbf{p} }{\mathrm{d} \tau} = q \gamma\left( \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right) \, , </math>

и бидејќи изводите во временските координати ''dt'' и сопственото време ''dτ'' се поврзани со Лоренцовиот фактор,

:<math>dt=\gamma(v)d\tau\,,</math>

па се добива

:<math> \frac{\mathrm{d} \mathbf{p} }{\mathrm{d} t} = q \left( \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right)\, .</math>

Ова е токму бараниот Лоренцов закон за силата, сепак, важно е да се забележи дека '''p''' е релативистичкиот израз, 

:<math>\mathbf{p}=\gamma(v) m_0 \mathbf{v} \,.</math>

===Временско-просторно алгебарски облик на Лоренцовата сила===

Електричното и магнетното поле се [[класичнииот електромагнетизам и специјалната релативност|зависни од брзината на набљудувачот]], па релативистичкиот облик на Лоренцовиот закон за силата може најдобро да образло9жи почнувајќи од координатно независен израз за електромагнетните и магнетните полиња,<ref>{{cite web|last=Hestenes|first=David|title=SpaceTime Calculus|url=http://geocalc.clas.asu.edu/html/STC.html}}</ref> <math>\mathcal{F}</math>, и арбитрарната бвременска насока, <math>\gamma_0</math>, каде

: <math>\mathbf{E} = (\mathcal{F}\cdot\gamma_0)\gamma_0</math>

и

: <math>i\mathbf{B} = (\mathcal{F}\wedge\gamma_0)\gamma_0</math>

<math>\mathcal F</math> е време-просторниот бивектор (насочен површински отсечок, како што векторот е насочен дел од правата), кој има шест степени на слобода кој соодејствуваат на изблици (вртежи во време-просторните рамнини) и вртежи. Точкестиот производ со векторот <math>\gamma_0</math> извлекува вектор од транслациониот дел, додека пак клинестиот производ создава тривектор које двојник на векторто кој е вообичаениот вектор на магнетното поле.
Релативистичката брзина се менува со временската местоположба на векторот <math>v=\dot x</math>, каде

: <math>v^2 = 1,</math>

и брзината е

: <math>\mathbf{v} = cv \wedge \gamma_0 / (v \cdot \gamma_0).</math>

Соодветниот облик на Лоренцовиот закон за силата е едноставно

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math> F = q\mathcal{F}\cdot v</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}

Се забележува дека редоследот е важен меѓу бивекторот и векторот на точкестиот прроизвод е антисиметричен. Од временско-просторното раздвојување може да се добие брзината, и полињата од погоре го даваат вообичаениот израз.

==Примена==

Лоренцовата сила се јавува кај многу апарати, вклучувајќи ги и:

*[[Циклотрон]]ите 
*[[Масен спектрометар]]
*Брзински филтри
*[[Магнетрон]]ите
*[[Лоренцово силни брзинометри]]

Појавувајќи се како Лапласова сила на електричната струја во проводникот, оваа сила се случува во многум апарати како што се:
{{multicol}}
*[[Електричен мотор]]
*[[Шински топ]]
*[[Линиски мотор]]
*[[Звучник]]
{{multicol-break}}
*[[Магнето-плазмичнодинамичен мотор]]
*[[Електричен генератор]]
*[[Истополен генератор]]
*[[Линиски алтернатор]]
{{multicol-end}}

== Поврзано ==

{{multicol}}
* [[Холов ефект]]
* [[Електромагнетизам]]
* [[Гравитомагнетизам]]
* [[Амперов закон за силата]]
* [[Хендрик Лоренц]]
* [[Максвелови равенки]]
* [[Запишување на Mаксвеловите равенки во специјалата релативност]]
{{multicol-break}}
* [[Подвижен магнет и проводнички проблем]]
* [[Абрахам–Лоренцова сила]]
* [[Ларморова равенка]]
* [[Циклотронско зрачење]]
* [[Магнетен потенцијал]]
* [[Магнетоотпор]]
{{multicol-break}}
* [[Скаларен потенцијал]]
* [[Хелмхолцова теорема]]
* [[Водечки центар]]
* [[Линија на полето]]
{{multicol-end}}
{{Commons|Лоренцова сила}}

== Наводи ==
{{наводи}}

== Надворешни врски ==

*[https://nationalmaglab.org/education/magnet-academy/watch-play/interactive/lorentz-force Interactive Java tutorial on the Lorentz force] National High Magnetic Field Laboratory
*[http://www.nadn.navy.mil/Users/physics/tank/Public/FaradaysLaw.pdf Faraday's law: Tankersley and Mosca]
*[http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/HBASE/hframe.html Notes from Physics and Astronomy HyperPhysics at Georgia State University]; see also [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/HBASE/hframe.html home page]
* [http://chair.pa.msu.edu/applets/Lorentz/a.htm Interactive Java applet on the magnetic deflection of a particle beam in a homogeneous magnetic field] by Wolfgang Bauer

{{Нормативна контрола}}
[[Категорија:Концепти во физиката]]
[[Категорија:Електромагнетизам]]
[[Категорија:Максвелови равенки]]
[[Категорија:Хендрик Лоренц]]