Преглед на кодот на Максвелови равенки

{{Специјална релативност}}
{{Електромагнетизам|cTopic=Електродинамика}}
'''Максвелови равенки''' — збир од [[парцијална диференцијална равенка|парцијални диференцијални равенки]] кои, заедно со законот на [[Лоренцова сила|Лоренцовата сила]], се градивото на [[класична електродинамика|класичната електродинамика]], класичната [[оптика]], и [[електрично коло|електричните кола]]. Овие полиња се основата на современите електрични и комуникациони технологии. Максвеловите равенки опишуваат како [[електрично поле|електричните]] и [[магнетно поле|магнетните]] полиња се создаваат и менуваат наизменично и како се однесуваат во присуство на [[електричен полнеж|полнежи]] и [[електрична струја|струи]]. Тие се именувани според шкотскиот физичар [[Џејмс Кларк Максвел]], кој го објавил првичниот изглед на овие равенки во периодот меѓу 1861 и 1862 година.

Равенките имаат два попознати начини на запишување. „Микроскопски“ збир на Максвеловите равенки при што се користи вкупниот полнеж и вкупната струја, вклучувајќи ги тука и сложените полнежи и струи во материјалите на [[атом]]ско ниво, се применуваат севкупно но некогаш е невозможно да се пресметаат. „Макроскопски“ збирот на Максвеловите равенки дефинира нови помошни полиња кои го опишуваат однесувањето при макроскопски големини, без да се разгледува однесувањето на атомско ниво, но потребна е употреба на параметри за карактеристичните електромагнетни својства на употребените материјали.

Поимот „Максвелови равенки“ се користи при [[#поинакви записи|други облици]] на Максвеловите равенки. На пример, [[коваријантен запис на класичниот електромагнетизам|време-просторни записи]] и се во употреба кај високоенергетската и гравитациона физика. Овие записи, опишани преку [[време-простор|време-просторот]], а не преку времето и просторот одделно, се [[значајни коваријанти|значајни]]<ref group="белешка">Максвеловите равенки во која и да се форма се во согласност со теоријата на релативитетот. Овие временско-просторни записи ја прават таа согласност со теоријата уште поразбирлива и поочигледна.</ref> и во согласност со [[специјална теорија на релативитетот|специјалната]] и [[општа теорија на релативитетот|општата]] релативност. Во [[квантната механика]] и [[Лоренцова сила#Лоренцова сила и аналитичка механика|аналитичката механика]], се користат Максвеловите равенки засновани на [[електричен потенцијал|електрични]] и [[магнетен потенцијал|магнетни]] потенцијали.

Од средината на {{римски|20}} век, се знае дека Максвеловите равенки не се точните закони на универзумот, туку се приближни пресметки за поточната и основна теорија на [[квантна електродинамика|квантната електродинамика]]. Во повеќето случаи, иако квантните отстапувања на Максвеловите равенки се немерливо мали. Отстапувањата се случуваат кога [[фотон|честичната]] природа на светлината е од важност или при многу силни електрични полиња.

{{TOC limit|4}}

==Запишување преку поимите за електрични и магнетни полиња==
За да се опише електромагнетизмот, потребно е да се користат [[векторски пресметки]] низ целата статија. Симболите кои се '''затемнети''' претставуваат [[вектор (геометија)|векторски]] големини, а симболите кои се ''закосени'' се всушност [[скалар (физика)|скаларни]] големини, освен ако не е поинаку назначено.

Со равенките се воведува [[електрично поле|електричното поле]] {{math|'''E'''}}, кое претставува [[векторско поле]],  и [[магнетно поле|магнетното поле]] {{math|'''B'''}}, кое пак е [[псевдовекторско]] поле, и двете полиња се зависни од времето. Изворите на овие полиња се [[електричен полнеж|електричните полнежи]] и [[електричнa струja|електричните струи]], кои можат да бидат изразени преку сопствените густини наречени [[густина на полнеж|густини на електричните полнежи]] {{math|''ρ''}} и [[густина на струја|густините на струјата]] {{math|'''J'''}}. Посебен закон на природата, наречен [[Лоренцова сила]], опишува како електричното и магнетното поле делуваат на наелектризираните честички и електричните струи. Верзија на овој закон е вклучена во оригиналните Максвелови равенки, но денес законот не е повеќе нивен дел.

При запишувањето на [[електромагнетно поле|електромагнетното поле]] се користат четири равенки. Две од нив опишуваат како полињата се менуваат во просторот од сопствените извори ако има такви; електричните полиња произлезени од електричните полнежи се опишани со [[Гаусов закон|Гаусовиот закон]], и магнетните полиња како затворени линии на полето ''не се должат на [[магнетен монопол|магнетните монополи]]'' се опишани со [[Гаусов закон за магнетизам|Гаусовиот закон за магнетизам]]. Останатите две равенки опишуваат како полињата се „движат“ околу сопствените извори, магнетното поле се „движи“ околу  електричните струи и променливите со време електрични полиња при [[Амперов закон|Амперовиот закон проширен од Максвел]], додека пак електричното поле се „движи“ околу променливите со време магнетни полиња при [[Фарадеев закон за индукција|Фарадеевиот закон]].

Прецизниот запис на Максвеловите равенки зависи од прецизната дефиниција на количествата кои се запишуваат. Записите се разликуваат во зависност од системот на единици кои се употребува, бидејќи различните дефиниции и [[димензионална анализа|димензии]] се променети од различните [[димензионална анализа|димензиски]] фактори како што се [[брзина на светлината|брзината на светлината]] {{math|''c''}}. Па поради ова постојаните во записите се изразени поинаку.

==Стандардни записи преку ''SI'' единиците==
Равенките запишани во овој дел се изразени во [[SI единици]]. Други единици кои се во употреба се [[Гаусови единици]] засновани на [[„cgs“ систем]]от,<ref name=Griffiths>{{cite book|author=David J Griffiths|title=Introduction to electrodynamics|year= 1999|edition=Third|pages=559–562|publisher=Prentice Hall|isbn=0-13-805326-X|url=http://worldcat.org/isbn/013805326X}}</ref> [[Лоренц–Хевисајд единици|Лоренц–Хевисајдови единици]] (се користат во физиката на елементарните честички), и [[Планкови единици]] (се користат во [[теориска физика]]). Види [[#Равенки во Гаусови единици|долу]] за записот преку Гаусови единици.

:{| class="wikitable" style="text-align: left;"
|-
! scope="col" style="width: 15em;" | Име
! scope="col" | [[Интеграл]]ни равенки
! scope="col" | [[Парцијални диференцијални равенки|Диференцијални]] равенки
|-
! scope="row" | [[Гаусов закон]]
| {{oiint
   | intsubscpt=<math>{\scriptstyle\partial \Omega }</math>
   | integrand=<math>\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{1}{\varepsilon_0} \iiint_\Omega \rho \,\mathrm{d}V</math>
   }}
| <math>\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac {\rho} {\varepsilon_0}</math>
|-
! scope="row" | [[Гаусов закон за магнетизам]]
| {{oiint
   | intsubscpt = <math>{\scriptstyle \partial \Omega }</math>
   | integrand  = <math>\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = 0</math>
  }}
| <math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>
|-
! scope="row" | Максвел-Фарадеева равенка ([[Фарадеев закон за индукција]])
| <math>\oint_{\partial \Sigma} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}  = - \frac{d}{dt} \iint_{\Sigma} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} </math>
|<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>
|-
! scope="row" | [[Амперов закон]] (со Максвелово проширување)
| <math>\oint_{\partial \Sigma} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \mu_0 \iint_{\Sigma} \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{d}{dt} \iint_{\Sigma} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}</math>
| <math>\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\left(\mathbf{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}} {\partial t} \right) </math>
|-
| colspan = "4" |Каде:


*{{math|'''∇'''}} е [[набла оператор]]
*{{math|'''E'''}} е [[електрично поле]],
*{{math|'''B'''}} е [[магнетно поле]],
*{{math|'''J'''}} е [[густина на струја]],
*{{math|''ρ''}} е вкупна [[густина на полнеж]],
*{{math|''ε''<sub>0</sub>}} е електрична [[пермитивност во вакуум]],
*{{math|''µ''<sub>0</sub>}} е магнетна [[пермеабилност во вакуум]],
кај интегралните равенки,
*{{math|'''∫'''}} го означува симболот за [[интеграл]],
*{{math|Ω}} означува [[волумен]], и {{math|∂Ω}} е [[Гаусова површина|затворена површина]], со нормала насочена нанадвор
*{{math|d''V''}} означува [[диференцијал (бесконечно мали)|диференцијал]] по волуменскиот елемент на {{math|Ω}},
*{{math|Σ}} означува незатворена површина (се зема за временски независна),
*{{math|d'''S'''}} означува диференцијал на [[векторски простор]] елемент на {{math|∂Ω}} или {{math|Σ}}, паралелелн на [[нормала на површина|наормалата на површината]], и
*{{math|∂Σ}} е затворена контура околу {{math|Σ}}, со насока спротивна на насоката на часовникот (во согласност со {{math|d'''S'''}}).

|-
|}

[[универзална постојана|универзалните постојани]] кои се појавуваат во равенките се [[диелектрична константа|диелектричната константа]] во вакуум {{math|''ε''<sub>0</sub>}} и магнетната пробојност во вакуум {{math|''μ''<sub>0</sub>}}, општи карактеристики на основните [[равенка на поле|равенки на полињата]].

Во диференцијалните равенки, ''просторниот'' опис на полињата, се врши со помош на [[набла оператор]]от {{math|∇}} кој ги означува трите димензии [[градиентен оператор|градиент]], и од него {{math|&nabla;·}} е [[дивергенција|дивергентен]] оператор и {{math|&nabla;×}} кој е  [[ротор (математика)|ротор]] оператор. Изворите се земени како просторни густини на полнежот и струјата.

Кај интегралните равенки, се содржи описот на полињата во одреден простор, {{math|Ω}} е одреден волумен со [[гранична (топологија)|гранична]] површина {{math|∂Ω}}, и {{math|Σ}} е која и да било одредена отворена површина со гранична крива {{math|∂Σ}}. Овде „одредена“ означува дека волуменот или површината не се менува со текот на времето. Иако е можно да се запишат Максвеловите равенки со временски зависни површини и волумени, нема апсолутна потреба од тоа, равенките се точни и комплетни со временски независните површини. Изворите се соодветно вкупни вредности од полнежот и струјата која се содржи или протекува низ овие волумени и површини, одредени по интеграцијата.[[Волуменски интеграл|Волуменскиот интеграл]] на вкупната [[густина на полнеж]]от {{math|''ρ''}} низ одреден волумен {{math|Ω}} е ''вкупниот'' [[електричен полнеж]] содржан во {{math|Ω}}:

:<math>Q = \iiint_\Omega \rho \, \mathrm{d}V\,,</math>

и ''вкупната'' [[електрична струја]] е [[површински интеграл|површинскиот интеграл]] на [[густина на електрична струја|густината на електричната струја]] {{math|'''J'''}}, која поминува низ некоја одредена површина {{math|Σ}}:

:<math>I = \iint_{\Sigma} \mathbf{J} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}\,,</math>

каде {{math|d'''S'''}} означува [[диференцијал (бесконечно мали)|диференцијален]] [[векторски простор|векторски елемент]] на одредена површина {{math|''S''}} е [[нормала (геометрија)|нормална]] на површината {{math|Σ}}. (Векторскиот простор се означува со {{math|'''A'''}} отколку со {{math|'''S'''}}, но ова е во судир со [[магнетниот потенцијал]], кој е поинакво векторско поле).

„Вкупниот полнеж или струја“ се однесува на вклучувањето на слободните и сврзаните полнежи, или [[слободна струја|слободните]] и [[сврзана струја|сврзаните]] струи. Истите се користат при макроскопски записи [[#„Микроскопски“ наспроти „Макроскопски“|долу]].

==Односи меѓу диференцијалните и интегралните записи==
Диференцијалните и интегралните записи на равенките математички се еднакви, преку [[теорија на дивергенција|теоремата на дивергенција]] во овој случај за [[Гаусов закон за магнетизмот|Гаусовиот закон за магнетизмот]], и преку [[Келвин-Стокова теорема|Келвин-Стоковата теорема]] во овој случај за Фарадеевиот закон и Амперовиот закон. И двата, и диференцијалниот и интегралниот запис се од корист. Интегралниот запис може често да се користи за едноставно и директно пресметување на полињата од симетричните распределби на полнежите и струите. Од друга страна, диференцијалниот запис е поприроден начин за пресметување на полињата при посложени (помалку симетрични) случаи, на пример користејќи го [[метод на конечни елементи|методот на конечните елементи]].<ref>{{cite book |title=Partial differential equations and the finite element method |last=Šolín |first=Pavel |year=2006 |publisher=John Wiley and Sons |isbn=0-471-72070-4 |page=273 |url=http://books.google.com/books?id=-hIG3NZrnd8C&pg=PA273}}</ref>

===Флукс и дивергенција===
[[Податотека:Divergence theorem in EM.svg|thumb|Затворен волумен {{math|Ω}} и неговата граница {{math|∂Ω}}, околу извор {{math|(+)}} и длабочина {{math|(−)}} на векторско поле {{math|'''F'''}}. тука, {{math|'''F'''}} може да биде {{math|'''E'''}} поле со изворен електричен полнеж, но ''не'' и {{math|'''B'''}} полето кое не поседува магнетен полнеж како што е прикажано. Нанадвор насочената [[единична нормала]] е означена со '''n'''.]]

„Полињата оддадени од изворите“ можат да се добијат од [[површински интеграл|површинските интеграли]] на полињата низ [[затворена површина|затворена]]та површина {{math|∂Ω}}, дефинирана како [[електричен флукс]] {{oiint|
   | intsubscpt = <math>{\scriptstyle \partial \Omega }</math>
   | integrand  = <math> \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}</math>
  }} и [[магнетен флукс|магнетниот флукс]] {{oiint|
   | intsubscpt = <math>{\scriptstyle \partial \Omega }</math>
   | integrand  = <math> \mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}</math>
  }}, како и нивните соодветни [[дивергенција|дивергенции]] {{math|&nabla; · '''E'''}} и {{math|&nabla; · '''B'''}}. Овие површински интеграли и дивергенции се поврзани преку [[теорема на дивергенција|теоремата на дивергенција]].

===Кружно движење и ротор===
[[Податотека:Curl theorem in EM.svg|thumb|Отворена површина {{math|Σ}} и граница {{math|∂Σ}}. {{math|'''F'''}} може да биде {{math|'''E'''}} или {{math|'''B'''}} полињата. Повторно, {{math|'''n'''}} е [[единична нормала]]. (роторот на векторското поле не наликува на „кружните“ движења, ова е хеуристичен запис).]]

„Кружното движење на полињата“ може да се добие од [[линиски интеграл|линиските интеграли]] на полињата околу затворената крива ∂Σ:

:<math>\oint_{\partial \Sigma} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}, \quad \oint_{\partial \Sigma} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\,,</math>

каде {{math|d'''{{ell}}'''}} е диференцијалниот векторски елемент на ''должината на патот'' [[тангенцијално]] во однос на патот/кривата, како нивен [[ротор (математика)|ротор]]:

:<math>\nabla \times \mathbf{E}, \quad \nabla \times \mathbf{B}\,.</math>

Овие линиски интеграли и ротори се поврзани преку [[Стоксовата теорема]], и се аналогни на количествата во класичната [[динамика на флуиди]]: [[циркулација (динамика на флуиди)|циркулација]] на флуидот е линискиот интеграл на [[проточна брзина|проточната брзина]] на флуидите во поле околу затворен круг, и [[вртлог|вртложноста]] на флуидот е роторот на брзинското поле.

===Развој низ времето===
„Динамиката“ или „[[развој низ времето|развојот низ времето]] на полињата“ се должи на парцијалните изводи на полињата во однос на времето:

:<math>\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}, \quad \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}.</math>

Овие изводи се од важност за предвидување на ширњењето на полето преку [[електромагнетен бран|електромагнетните бранови]]. Бидејки површината е земена како временски независна, може да се направи следниов премин преку Фарадеевиот закон:

:<math> \frac{d}{dt} \iint_{\Sigma} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \iint_{\Sigma}  \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}\,,</math>

види [[диференцијација под интегралниот знак]] за подетални податоци за овие резултати.

==Видови на записи==
===Гаусов закон===
'''[[Гаусовиот закон]]''' го опишува заемодејството меѓу статичното [[електрично поле]] и [[електричен полнеж|електричниот полнеж]] кој го предизвикува: Статичното електрично поле е насочено од позитивните полнежи кон негативните полнежи. Во описот на полето со помош на силови линии, силовите линии на електричното поле почнуваат од позитивните електрични полнежи и завршуваат во негативните електрични полнежи. 'Броењето' на силовите линии на полето кои минуваат низ [[затворена површина]], оттука, се добива вкупниот полнеж (вклучувајќи го и сврзаниот полнеж поради поларизацијата на материјалот) опколен со таа површина поделена со диелектричната постојана при вакуум. Подобро кажано, целиот [[електричен флукс]] минува низ секоја хипотетична [[затворена површина|затворена]] „[[Гаусова површина]]“ низ затворениот електричен полнеж.

[[Image:VFPt dipole magnetic1.svg|right|thumb|250|[[Гаусов закон за магнетизам]]: магнетните силови линии никогаш не почнуваат или завршуваат туку формираат јамки или се простираат од и во бесконечноста како што е прикажано тука со магнетното поле предизвикано од протокот на струјата во вид на прстен.]]

===Гаусов закон за магнетизам===
'''[[Гаусов закон за магнетизам]]''' тврди дека не постојат „магнетни полнежи“ (исто така наречени [[магнетен монопол|магнетни монополи]]), кои се аналогни на електричните полнежи.<ref name=VideoGlossary>[http://videoglossary.lbl.gov/2009/maxwells-equations/ J.D. Jackson, "Maxwell's Equations" video glossary entry]</ref> Наместо тоа, магнетното поле кај материјалите се создава од конфигурација наречена [[дипол]]. Магнетните диполи најдобро се опишани како јамки на струја кои наликуваат на позитивни и негативни 'магнетни полнежи', неразделно сврзани заедно, без притоа да поседуваат вкупен 'магнетен полнеж'. Претставена преку силови линии, оваа равенка вели дека магнетните силови линии ниту започнуваат ниту завршуваат туку опишуваат јамки или се протегаат до бесконечноста и назад. Кажано поинаку, секоја магнетна силова линија која минува низ даден волумен мора и некаде да го напушти тој волумен. Слична техничка изјава е дека сумата на вкупниот [[магнетен флукс]] низ секоја Гаусова површина е нула, или дека магнетното поле е [[соленоидално векторско поле]].

===Фарадеев закон===
[[Податотека:Magnetosphere rendition.jpg|thumb|left|При [[геомагнетна бура]], избојот на флуксот на наелектризираните честички привремено го изменува Земјиното магнетно поле, кое пак индуцира електрични полиња во Земјината атмосфера, предизвикувајќи кратки споеви во електричните мрежи. Артистички приказ, големините не се во размер.]]

'''[[Фарадеев закон за индукција#Максвел–Фарадеева равенка|Максвел-Фарадеевата равенка]]''' верзија на [[Фарадеев закон за индукција|Фарадеевиот закон]] која опишува како временско променливо [[магнетно поле]] кое создава („индуцира“ [[електрично поле]].<ref name=VideoGlossary/> Ова динамички создадено електрично поле има затворени силови линии како и магнетното поле, ако не е спротивставено преку статично (индуциран полнеж) електрично поле. Овој поглед на [[електромагнетна имдукција|електромагнетната индукција]] е оперативен принцип кај многу [[електричен генератор|електрични генератори]]: на пример, [[долгнавест магнет]] кој ротира создава променливо магнетно поле, кое пак создава електрично поле во блиската жица.

===Амперов закон со Максвелово проширување===
[[Податотека:Magnetic core.jpg|right|thumb|250|[[Магнетно јадрено памтење|Магнетното јадрено памтење памтење]] (1954) е примена на [[Амперов закон|Амперовиот закон]]. Секое [[магнетно јадро|јадро]] складира податоци со вредност од еден [[бит]].]]

[[Амперов закон|Амперовиот закон со Максвелово проширување]] вели дека магнетните полиња можат да бидат создадени на два начина: преку тек на [[електрична струја]] (ова е оригиналниот „Амперов закон“) и при променливи магнетни полиња (ова е „Максвеловото проширување“).

Максвеловото проширување на Амперовиот закон е од особена важност: покажува дека не само што променливо магнетно поле создава електрично поле, исто така и променливо електрично поле создава магнетно поле.<ref name=VideoGlossary/><ref>[http://books.google.com/books?id=1DZz341Pp50C&pg=PA809 ''Principles of physics: a calculus-based text''], by R.A. Serway, J.W. Jewett, page 809.</ref> Токму поради ова, овие равенки овозможуваат самоодржувачки „[[електромагнетни бранови]]“ кои патуваат низ вакуум (види [[електромагнетна бранова равенка]]).

Брзината која е пресметана за електромагнетните бранови, кои можат да бидат предвидени од опитите за полнежите и струите,<ref group="белешка">Количествата кои се наречени <math>\scriptstyle{1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}</math>, со единици на брзина, беа директно измерени пред Максвеловите равенки, во опит од 1855 година изведен од [[Вилхелм Едуард Вебер]] и [[Рудолф Колрауш]]. Тие створија полнеж во т.н. [[лајденска тегла]] (еден вид на [[кондензатор]]), и ја измерија [[Колумбов закон|електростатичка сила]] која се поврзува со потенцијалот, за подоцна, да го исцрпат полнежот од теглата додека ја мерат [[Амперова сила|магнетната сила]] од струјата во жицата низ која се празни полнежот од теглата. Нивниот резултата за брзината беше {{val|3.107|e=8|ul=м/с}}, неверојатно близу до брзината на светлината. Видете во [http://books.google.com/books?id=uwgNAtqSHuQC&pg=PA115 The story of electrical and magnetic measurements: from 500 B.C. to the 1940s, by Joseph F. Keithley, p115]</ref> кои се точно еднакви на [[брзина на светлината|брзината на светлината]], и навистина, [[светлина]]та ''е'' еден вид на [[електромагнетно зрачење]] (како што се и [[X-зраци]]те, [[радио бранови]]те, и останатите). Максвел ја согледа врската меѓу електромагнетните бранови и светлината во 1861 година, и на тој начин ги обедини теориите за [[електромагнетизам|електромагнетизмот]] и [[оптика]]та.

==Равенки во вакуум, електромагнетни бранови и брзина на светлината==
{{Поврзано|Равенка на електромагнетен бран|Нехомогена равенка на електромагнетен бран}}
[[Податотека:Electromagneticwave3D.gif|thumb| Овој 3Д дијаграм прикажува рамнински линиски поларизиран бран кој се движи од лево кон десно со истите бранови равенки каде     {{math|1='''E''' = ''E''<sub>0</sub> sin(−ω''t'' + '''k''' ⋅ '''r''')}} и {{math|1='''B''' = ''B''<sub>0</sub> sin(−ω''t'' + '''k''' ⋅ '''r''')}}]]

Во просторот каде има отсуство на полнежи ({{math|1=''ρ'' = 0}}) и нема струи ({{math|1='''J''' = '''0'''}}), како што е на пример при вакуум, Максвеловите равенки се сведуваат на:

:<math>\begin{align}
\nabla \cdot \mathbf{E} &= 0 \quad
&\nabla \times \mathbf{E} = \ -&\frac{\partial\mathbf B}{\partial t},
\\
\nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \quad
&\nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c^2} &\frac{\partial \mathbf E}{\partial t}.
\end{align}</math>

Земајќи го роторот {{math|(∇×)}} од равенките со ротор, и користејќи [[векторски математички идентитети#ротор на ротор|идентитето ротор на ротор]] {{math|1=∇×(∇×'''X''') = ∇(∇·'''X''') − ∇<sup>2</sup>'''X'''}} се добива [[бранова равенка|брановите равенки]]:

:<math>
 \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf E = 0\,, \quad
 \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf B}{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf B = 0\,,
</math>

кои ја одредуваат

:<math>c = \frac{1}{\sqrt{ \mu_0 \varepsilon_0}} = 2.99792458 \times 10^8 \, \mathrm{m~s}^{-1} </math>

што е всушност [[брзината на светлината]] во вакуум. Во материјали со одредена [[релативна пермеативност]] {{math|''ε<sub>r</sub>''}} и [[пермеабилност (електромагнетизам)#релативна пермеабилност и магнетна сусцептибилност|релативна пермеабилност]] {{math|''μ<sub>r</sub>''}}, [[фазна бризна|фазната брзина]] на светлината станува:

:<math>v_\text{p} = \frac{1}{\sqrt{ \mu_0\mu_\text{r} \varepsilon_0\varepsilon_\text{r} }} </math>

која секогаш е помала од {{math|''c''}}.

Во продолжение, {{math|'''E'''}} и {{math|'''B'''}} се заемно нормални еден на друг и насоката на брановото движење е во исти меѓусебни [[фаза (бран)|фази]]. [[Синусоидален]] рамнински бран е едно од специјалните решенија на овие равенки. Максвеловите равенки објаснуваат како овие бранови можат физички да се движат низ просторот. Променливото магнетно поле создава променливо електрично поле со помош на [[Фарадеевиот закон за индукција|Фарадеевиот закон]]. За возврат, тоа електрично поле создава променливо магнетно поле преку [[Амперов закон|Амперовиот закон со Максвелово проширување]]. Овој постојан циклус дозволува овие бранови, денес познати како [[електромагнетно зрачење]], да се движат низ просторот со брзина {{math|''c''}}.

==„Микроскопски“ наспроти „макроскопски“==
''Микроскопскиот'' запис на Максвеловите равенки го изразува електричното {{math|'''E'''}} поле и магнетното {{math|'''B'''}} поле во однос на ''вкупниот полнеж'' и вкупната ''струја'' ги вклучуваат и полнежите и струите на атомско ниво. Ова понекогаш се нарекува општа форма на Максвеловите равенки или „Максвелови равенки во вакуум“. Макроскопскиот запис на Максвеловите равенки е исто така општ, при што разликата е незабележлива.

„Максвеловите макроскопски равенки“, исто така познати како '''Максвелови равенки на материјата''', се послични со равенките кои и самиот Максвел ги запишал.

:{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
! scope="col" style="width: 15em;" | Име
! scope="col" | [[Интеграл]]ни равенки
! scope="col" | [[Парцијални диференцијални равенки|Диференцијални]] равенки
|-
! scope="row" | [[Гаусов закон]]
| {{oiint
   | intsubscpt = <math>{\scriptstyle \partial \Omega }</math>
   | integrand  = <math>\mathbf{D}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \iiint_\Omega \rho_\text{f} \,\mathrm{d}V</math>
  }}
| <math>\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_\text{f}</math>
|-
! scope="row" | [[Гаусов закон за магнетизам]]
| {{oiint
   | intsubscpt = <math>{\scriptstyle \partial \Omega }</math>
   | integrand  = <math>\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = 0</math>
  }}
| <math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>
|-
! scope="row" | Максвел–Фарадеева равенка ([[Фарадеев закон за индукција]])
| <math>\oint_{\partial \Sigma} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}  = - \frac{d}{dt} \iint_{\Sigma} \mathbf B \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} </math>
|<math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>
|-
! scope="row" | [[Амперов закон]] (со Максвелово проширување)
| <math>\oint_{\partial \Sigma} \mathbf{H} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \iint_{\Sigma} \mathbf{J}_\text{f} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} + \frac{d}{dt} \iint_{\Sigma} \mathbf{D} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}</math>
| <math>\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_\text{f} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}</math>
|-
|}

За разлика од „микроскопските“ равенки, „макроскопските“ равенки го одвојуваат сврзаниот полнеж {{math|''Q''<sub>b</sub>}} и струја {{math|''I''<sub>b</sub>}} за да се добијат равенки кои зависат само од слободните полнежи {{math|''Q''<sub>f</sub>}} и струи {{math|''I''<sub>f</sub>}}. Ова разделување може да се добие со поделба на вкупниот електричен полнеж и струја како што следи:

:<math>Q = Q_\text{f} + Q_\text{b} = \iiint_\Omega \left(\rho_\text{f} + \rho_\text{b} \right) \, \mathrm{d}V = \iiint_\Omega \rho \,\mathrm{d}V </math>

:<math>I = I_\text{f} + I_\text{b} = \iint_\Sigma \left(\mathbf{J}_\text{f} + \mathbf{J}_\text{b} \right) \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \iint_\Sigma \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} </math>

Цената на ова разделување, е таа дека дополнителните полиња, како [[електрично поле на поместувањето|полето на поместувањето]] {{math|'''D'''}} и [[полето на магнетизација]]-{{math|'''H'''}}, се дефинирани и треба да бидат одредени. Овие равенки ги сврзуваат дополнителните полиња со електричното поле {{math|'''E'''}} и магнетното поле {{math|'''B'''}}, најчесто преку едноставна линиска врска.

За поопширен опис на разликите меѓу микроскопските и (''вкупни'' полнежи и струи вклучувајќи ги и материјалните  придонеси или во воздух/вакуум)<ref group="белешка" name="Effective_charge">Во некои книги — на пример во U. Krey и A. Owen's Основна теориска физика (''Springer'' 2007) — се користи поимот ''ефективен полнеж'' наместо ''вкупен полнеж'', додека пак ''слободниот полнеж'' едноставно се нарекува ''полнеж''.</ref>
макроскопските (''слободни'' полнежи и струи, практични за употреба кај материјалите) различни записи на Максвеловите равенки, види подолу.

===Сврзани полнежи и струи===
{{Главна статија|Густина на струја|густина на поларизација#Сврзан полнеж|Магнетизација#Магнетизациона струја|l2=Сврзан полнеж|l3=Сврзана струја}}
[[Податотека:Polarization and magnetization.svg|thumb|300px|'''''Лево:''''' Шематски преглед на тоа како распределени микроскопски диполи создаваат спротивни површински полнежи како што е прикажано од врвот кон дното. '''''Десно:''''' Како распределба на микроскопски струјни јамки се спојуваат и создаваат макроскопски подвижни струјни јамки. Внатре во границите, засебните придодавања тежнеат да се поништат, но на границите не се случува никакво поништување.]]

Кога се изложени на електрично поле [[диелектрик|диелектрични материјали]] нивните молекули реагираат така што создаваат микроскопски [[електричен дипол|електрични диполи]] – нивните [[атомско јадро|атомски јадра]] се поместуваат за минимални растојанија во насоката на полето, додека нивните [[електрон]]и се поместуваат за мало растојание во спротивната насока. На овој начин се создава ''макроскопски'' ''сврзан полнеж'' во материјалот иако сите полнежи се сврзани за самите молекули. На пример, ако секоја молекула се движи на ист начин, слично на начинот кој е прикажан на сликата, овие мали придвижувања на полнежите се спојуваат за да произведат обвивка од позитивно [[сврзан полнеж#сврзан полнеж|сврзан полнеж]] на една страна од материјалот и слој од негативно наелектризирани полнежи на спротивната страна. Сврзаниот полнеж најубаво се објаснува со поимите како [[поларизациона густина|поларизација]] {{math|'''P'''}} на материјалот, т.е. диполниот момент на единица волумен. Ако {{math|'''P'''}} е подеднакво насекаде, макроскопско раздвојување на полнежот се случува на површината каде {{math|'''P'''}} влегува и го напушта материјалот. За неподеднакво {{math|'''P'''}}, полнежот се произведува низ целиот материјал.<ref>За добар опис на тоа како поларизацијата {{math|'''P'''}} е поврзана со [[сврзан полнеж|сврзаниот полнеж]] видете: {{cite book|author=David J. Griffiths|title=Introduction to Electrodynamics|edition=third|section=4.2.2|publisher=Prentice Hall|year=1999}}</ref>

На сличен начин, кај сите материјали составните атоми пројавуваат [[магнетен момент#примери на магнетни моменти|магнетни моменти]] кој се нераздвојно поврзани [[жиромагнетен однос|аголниот момент]] на составните делови на атомите, најзабележително е кај нивните [[електрон]]и. [[магнетно поле#магнетни диполи|Врската со аголниот момент]] ја прикажува сликата на распределба на микроскопските струјни јамки. Надвор од материјалот, распределбата на таквите микроскопски струјни јамки не различна макроскопските струи кои се движат низ површината на материјалот, и покрај фактот што ниту еден самостоен полнеж не поминува поголеми растојанија. Овие ''[[сврзана струја#магнетизациона струја|сврзани струи]]'' можат да се опишат со користење на [[магнетизација]]та {{math|'''M'''}}.<ref>За добар опис на тоа како магнетизацијата {{math|'''M'''}} е поврзана со [[сврзана струја|сврзаната струја]] видете: {{cite book|author=David J. Griffiths|title=Introduction to Electrodynamics|edition=third|section=6.2.2|publisher=Prentice Hall|year=1999}}</ref>

Многу сложените и зрнесто врзани полнежи и сврзани струи, можат да се прикажат на макроскопско ниво со поимите {{math|'''P'''}} и {{math|'''M'''}} кои ги сведуваат овие полнежи и струи на доволно големи нивоа па истите не се разгледуваат како зрнести или самостојни атоми, но истовремено се и доволно мали со што можат да ја менуваат местоположбата во материјалот. Како такви, ''Максвеловите макроскопски равенки'' занемаруваат многу детали на финото ниво кои не се од важност за разбирање на работите на големото ниво со пресметување на средната вредност на полињата на одреден волумен.

===Помошни полиња, поларизација и магнетизација===
Дефинирањето на помошните полиња се врши со помош на равенките:

:<math>\mathbf{D}(\mathbf{r}, t) = \varepsilon_0 \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) + \mathbf{P}(\mathbf{r}, t)</math>
:<math>\mathbf{H}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B}(\mathbf{r}, t) - \mathbf{M}(\mathbf{r}, t),</math>

каде {{math|'''P'''}} е [[густина на поларизација|поларизационото]] поле и {{math|'''M'''}} е [[магнетизација|магнетизационото]] поле кои пак се дефинирани преку микроскопските сврзани полнежи  и сврзани струи соодветно. Макроскопските сврзани густини на полнежот {{math|''ρ''<sub>b</sub>}} и сврзната густина на струјата  {{math|'''J'''<sub>b</sub>}} изразени преку [[густина на поларизација|поларизационото]] {{math|'''P'''}} и [[магнетизација]]та {{math|'''M'''}} се дефинираат на следниов начин:

::<math>\rho_\text{b} = -\nabla\cdot\mathbf{P},</math>
::<math>\mathbf{J}_\text{b} = \nabla\times\mathbf{M} + \frac{\partial\mathbf{P}}{\partial t}.</math>

Ако ги дефинираме слободниот, сврзаниот и вкупниот полнеж и густината на струјата со:

::<math>\rho = \rho_\text{b} + \rho_\text{f}, \ </math>
::<math>\mathbf{J} = \mathbf{J}_\text{b} + \mathbf{J}_\text{f},</math>

и ги употребиме дефинираните релации од погоре за да се отстрани {{math|'''D'''}}, и {{math|'''H'''}}, тогаш „макроскопските“ Максвелови равенки се сведуваат на  „микроскопски“ равенки.

===Записи на равенките низ материјални средини===
{{Главна статија|Равенки низ материјални средини|електромагнетизам}}
За да се искористат „Максвеловите макроскопски равенки“, потребно е да се одредат врските меѓу [[електричното поле на поместување|поле на поместување]] {{math|'''D'''}} и електричното поле {{math|'''E'''}}, како и [[магнетно поле#H-поле и магнетни материјали|магнетизирачкото]] поле {{math|'''H'''}} и магнетното поле {{math|'''B'''}}. Еквивалентно, треба да се одреди зависноста на поларизацијата {{math|'''P'''}} (оттука сврзаниот полнеж) и магнетизацијата {{math|'''M'''}} (оттука сврзната струја) на применетото електрично и магнетно поле. Равенките кои го одредуваат овој резултат се наречени [[материјални односи]]. За материјалите од секојдневието, материјалните односи се мошне ретко едноставни, освен во случаите кога се одредени преку опити.

За материјалите без поларизација и магнетизација („вакуум“), материјалните односи сè:

:<math>\mathbf{D} = \varepsilon_0\mathbf{E}, \quad \mathbf{H} = \frac{1}{\mu_0}\mathbf{B}</math>

со скаларните постојани {{math|''ε''<sub>0</sub>}} и{{math|''μ''<sub>0</sub>}}. Бидејќи отсуствува сврзан полнеж вкупниот и слободниот полнеж, а и струјата, се еднакви.

Општо, за линиските материјали материјалните односи се:

:<math>\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E}\,,\quad \mathbf{H} = \frac{1}{\mu}\mathbf{B} </math>

каде {{math|''ε''}} е [[пермитивност]]а и {{math|''μ''}} е [[пермеабилност (електромагнетизам)|пермеабилноста]] на материјалот. Но и линиските случаи можно е да имаат најразлични усложнувања.

*За хомогени материјали, {{math|''ε''}} и {{math|''μ''}} се постојани низ целиот материјал, додека па за нехомогените материјали зависат од [[насочен вектор|местоположбата]] во самиот материјал (и можеби и времето).
*За изотропни материјали, {{math|''ε''}} и {{math|''μ''}}се скалари, додека пак кај неизотропните материјали  (на пример кај кристалните структури) тие се [[тензор]]и.
*Материјалите се во општа смисла [[распрскување (оптика)|распрскани]], па {{math|''ε''}} и {{math|''μ''}} зависат од [[фреквенција]]та на секој од упадните електромагнетни бранови.

Уште поопшто, во случаите на нелиниски материјали (види за пример [[нелиниска оптика]]), {{math|'''D'''}} и {{math|'''P'''}} не се секогаш пропорционални сo {{math|'''E'''}}, слично и {{math|'''B'''}} не секогаш пропорционално со {{math|'''H'''}} или {{math|'''M'''}}. Воопшто {{math|'''D'''}} и {{math|'''H'''}} зависат од {{math|'''E'''}} и {{math|'''B'''}}, во одредена местоположба и време, а веројатно и од други физички величини.

При примената потребно е да се опишат начините како густините на слободните струи и полнежи се однесуваат во однос на {{math|'''E'''}} и {{math|'''B'''}} со можност да се сврзани со други физички величини како притисок, маса, број на густина и брзина на носителите на полнежот. На пример, оригиналните равенки на Максвел (види [[Историја на Максвеловите равенки]]) го вклучуваат и [[Омов закон|Омовиот закон]] преку следниот запис:

:<math>\mathbf{J}_\text{f} = \sigma \mathbf{E}\,.</math>

==Запис на равенките во Гаусови единици==
{{Главна статија|Гаусови единици}}
Гаусовите единици се популарен систем на единици, и се дел од [[системот на единици сантиметар–грам–секунда]] (''cgs''). Кога се користат ''cgs'' единици погодно е да се користат малку поинакви дефиниции за електричните полиња {{math|1='''E'''<sub>cgs</sub> = ''c''<sup>−1</sup> '''E'''<sub>SI</sub>}}. Ова наведува на тоа дека променетите електрични и магнетни полиња ги имаат истите единици (во ''SI'' системот но не е така во случајов: на пример, за електромагнетните бранови во вакуум, {{math|1={{!}}'''E'''{{!}}<sub>SI</sub>| = ''c''{{!}}'''B'''{{!}}}}, што ја прави [[димензионална анализа|димензионалната анализа]]на равенките поразлична). И се користи единица за полнеж [[системот на единици сантиматар–грам–секунда#поинакви изведувања на   CGS единиците во електромагнетизмот|дефинирани]] на таков начин што пермитативноста на вакуумот   {{math|1=''ε''<sub>0</sub> = 1/(4''πc'')}}, оттука {{math|1=''μ''<sub>0</sub> = 4''π''/''c''}}.
Со употреба на овие поинакви записи, Максвеловите равенки можат да се запишат:<ref name=Littlejohn>
{{cite web
 | url=http://bohr.physics.berkeley.edu/classes/221/0708/notes/emunits.pdf
 | format=PDF
 | title=Gaussian, SI and Other Systems of Units in Electromagnetic Theory
 | work=Physics 221A, University of California, Berkeley lecture notes
 | author=Littlejohn, Robert
 | date=Fall 2007
 | accessdate=2008-05-06
}}</ref>

:{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|+ Равенки во Гаусови единици
|-
! scope="col" style="width: 13em;" | Име
! Микроскопски равенки
! Макроскопски равенки
|-
| [[Гаусов закон]]
|<math>\nabla \cdot \mathbf{E} = 4\pi\rho </math>
|<math> \nabla \cdot \mathbf{D} = 4\pi\rho_\text{f}</math>
|-
| [[Гаусов закон за магнетизам]]
| <math>\nabla \cdot \mathbf{B} = 0</math>
| исто како микроскопската равенка
|-
| Максвел-Фарадеева равенка ([[Фарадеев закон за индукција]])
| <math>\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{B}} {\partial t}</math>
| исто како микроскопската равенка
|-
| [[Амперов закон]] (Со Максвелово проширување)
|<math>\nabla \times \mathbf{B} = \frac{1}{c} \left(4\pi\mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right)</math>
|<math> \nabla \times \mathbf{H} = \frac{1}{c} \left(4\pi\mathbf{J}_\text{f} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t} \right)</math>
|}

==Поинакви видови на записи==
Постојат голем број на начини на кои можат да се запишат микроскопските Максвелови равенки, со што се прикажува дека истите можат да бидат запишани преку различни математички гранки при што ќе се опишат истите физички својства. Често, и овие записи се наречени Максвелови равенки.  Директното време-просторно запишување покажува дека Максвеловите равенки се релативистички инваријантни. Во продолжение, записот при кој се користат потенцијали беше првично воведен како убав начин за решавање на равенките, но и да се види целата физика содржана во полињата. Потенцијалите имаат централна улога во квантната механика, но и дејствуваат квантно механички и со последици кои можат да бидат забележани и кога полињата ќе исчезнат ([[Ахаронов–Бомов ефект]]). 

:{|class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
!scope="column" width="160px"|Математичка гранка
!| Запис
!| Хомогени равенки
!| Нехомогени равенки
|-
! scope="row" rowspan="3" |[[Векторска математика]]
!Полиња
3Д Евклидов простор + време
||<math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math>
<math>\nabla\times\mathbf{E}+\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=0</math>
||<math>\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>
<math>\nabla\times\mathbf{B}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}=\mu_0\mathbf{J}</math>
|-
!Потенцијали (секој [[Баждарна теорија|баждар]])
3Д Евклидов простор + време
||<math>\mathbf B = \mathbf \nabla \times \mathbf A</math>
<math>\mathbf E = - \mathbf \nabla \varphi - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t}</math>
||<math>\nabla^2 \varphi + \frac{\partial}{\partial t} \left ( \mathbf \nabla \cdot \mathbf A \right ) = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>
<math>\Box\mathbf A+\mathbf \nabla \left ( \mathbf \nabla \cdot \mathbf A + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \varphi}{\partial t} \right ) = \mu_0 \mathbf J</math>
|-
!Потенцијали ([[Лоренцов баждар]])
3Д Евклидов простор + време
||<math>\mathbf B = \mathbf \nabla \times \mathbf A</math>
<math>\mathbf E = - \mathbf \nabla \varphi - \frac{\partial \mathbf A}{\partial t}</math>

<math>\mathbf \nabla \cdot \mathbf A + \frac{1}{c^2}\frac{\partial \varphi}{\partial t} = 0</math>
||<math>\Box \varphi = \frac{\rho}{\varepsilon_0}</math>
<math>\Box\mathbf A  = \mu_0 \mathbf J</math>
|-
! scope="row" rowspan="6" |[[Тензорка математика]]
![[коваријантен запис на класичниот електромагнетизам#Максвелови равенки во вакуум|Полиња]]
[[Минковски простор]]
||<math>\partial_{[\alpha} F_{\beta\gamma]}= 0 </math>
||<math>\partial_\alpha F^{\beta\alpha} = \mu_0 J^\beta </math>
|-
!Потенцијали (секој баждар)
[[Минковски простор]]
||<math>F_{\alpha\beta} = \partial_{[\alpha} A_{\beta]}</math>
||<math>\partial_\alpha \partial^{[\beta} A^{\alpha]} = \mu_0 J^\beta</math>
|-
!Потенцијали (Лоренцов баждар)
[[Минковски простор]]
||<math>F_{\alpha\beta} = \partial_{[\alpha} A_{\beta]}</math>
<math>\partial_\alpha A^\alpha = 0</math>
||<math>\Box  A^\alpha = -\mu_0 J^\alpha</math>
|-
!Полиња
секој време-простор
||<math>\partial_{[\alpha} F_{\beta\gamma]}= \nabla_{[\alpha} F_{\beta\gamma]} = 0 </math>
||<math>\nabla_\alpha (\sqrt{-g} F^{\beta\alpha})  = \mu_0 J^\beta </math>
|-
!Потенцијали (секој баждар)
секој време-простор
||<math> F_{\alpha\beta} = \partial_{[\alpha} A_{\beta]} = \nabla_{[\alpha} A_{\beta]}</math>
||<math> \nabla_\alpha (\sqrt{-g}\nabla^{[\beta} A^{\alpha]} ) = \mu_0 J^\beta</math>
|-
!Потенцијали (Лоренцов баждар)
секој време-простор
||<math> F_{\alpha\beta} = \partial_{[\alpha} A_{\beta]} = \nabla_{[\alpha} A_{\beta]},</math>
<math>\nabla_\alpha A^{\alpha} = 0</math>
||<math> \Box A^{\alpha}  - R^{\alpha}{}_{\beta} A^\beta = -\mu_0 J^\alpha</math>
|-
! scope="row" rowspan="3" |[[диференцијална форма|Диференцијални форми]]
!Полиња
Секој време-простор
||<math>\mathrm{d} F = 0</math>
||<math>\mathrm{d} {*} F = \mu_0 J </math>
|-
!Потенцијали (секој баждар)
Секој време-простор
||<math>F = \mathrm{d} A</math>
||<math>\mathrm{d} {*} \mathrm{d} A = \mu_0 J </math>
|-
!потенцијали (Лоренцов баждар)
Секој време-простор
||<math>F = \mathrm{d} A</math>
<math> \mathrm{d} {\star} A = 0 </math>
||<math>{\star} \Box A = \mu_0 J </math>
|-  
|}

каде:

*При векторските записи на Евклидовиот простор + времето, каде <math>\varphi</math> е [[електричен потенцијал|електричниот потенцијал]], {{math|'''A'''}} е [[векторски потенцијал|векторскиот потенцијал]] и <math>\Box = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2} {\partial t^2}-\nabla^2</math> е [[Даламберов оператор|Даламберовиот оператор]]. 

*Кај тензорските математички записи, [[електромагнетен тензор|електромагнетниот тензор]] <math>F_{\alpha\beta}</math> е антисиметричен коваријантен тензор од 2 ранг, со [[четири потенцијален|четири потенцијали]] <math>A_\alpha</math> е коваријантен вектор, струјата <math>J^\alpha</math> е векторска густина, со средните загради [ ] се означува [[Ричиева математика#Симетрични иасиметрични делови|антисиметризацијата на показателите]], <math>\partial_\alpha</math> е изводот во координатата <math>x^\alpha</math>. Во Минковскиот простор координатите се избрани во однос на [[инерцијална рамка|инерцијалната рамка]], <math>(x^\alpha) = (ct, x, y,z)</math>, така што [[метрички тензор|метричкиот тензор]] кој се користи за да се зголеми или намали показателите е <math>\eta_{\alpha\beta} = \mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)</math>. Даламберовиот оператор во Минковскиот простор е <math>\Box = \partial_\alpha\partial^\alpha </math> како и при векторскиот запис. Во општите  време-простори, координативниот систем <math>x^\alpha</math> е произволен, [[коваријантен извод|коваријантниот извод]] <math>\nabla_\alpha</math>, Ричиевиот тензор <math>R_{\alpha\beta}</math> и зголемувањето и намалувањето на показателите  се дефинирани со Лоренцовиот метрички тензор <math>g_{\alpha\beta}</math> и Даламберовиот оператор кој е дефиниран како <math>\Box = \nabla_\alpha\nabla^\alpha</math>.

*Во [[Диференцијална форма]] записите на произволни време простори, <math>F = F_{\alpha\beta}dx^\alpha\wedge dx^\beta</math> е електромагнетниот тензор кој се гледа како двоформен, <math>A = A_\alpha dx^\alpha</math> е потенцијалот во 1 форма, <math>J</math> е струјата (псевдо) во 3 форми, d е [[диференцијалот]], и <math>{*},{\star}</math> се [[Хоџови ѕвезди|Хоџовите ѕвезди]] во форма дефинирана од Лоренцовиот метрички тензор на простор-времето. Операторот <math>\Box = (-{\star} \mathrm{d} {*} \mathrm{d} - \mathrm{d} {\star} \mathrm{d} {\star}) </math> е [[Лаплас-Белтрамиев оператор|Даламберов-Лапласов-Белтрамиев оператор]] во 1-форма на произволен [[псевдо-Риманова сума#Лоренцова сума|Лоренцов време-простор]].

Други видови на записи се [[геометриска алгебра#Eелектродинамика и специјална релативност|геометриско алгебарски запис]] и [[матричен приказ на Максвеловите равенки]]. Историски, се користел [[квартенион]]ски запис.<ref>{{cite news|title=Physical Space as a Quaternion Structure I: Maxwell Equations. A Brief Note.|author=P.M. Jack|location=Toronto, Canada|year=2003|url=http://arxiv.org/abs/math-ph/0307038|arxiv=math-ph/0307038}}</ref><ref>{{cite news|title=On the Notation of Maxwell's Field Equations|author=A. Waser|location=|year=2000|publisher=AW-Verlag|url=http://www.zpenergy.com/downloads/Orig_maxwell_equations.pdf|arXiv=}}</ref>

==Решенија==
Максвеловите равенки се [[парцијални диференцијални равенки]] кои се поврзани со електричните и магнетните полиња меѓусебно како и со електричните полнежи и струи. Често, полнежите и струите се зависни од електричните и магнетните полиња преку [[Лоренцова сила|равенката на Лоренцовата сила]] и [[#Записи на равенките низ материјални средини|материјални односи]]. Сите овие создаваат збир од парови парцијални диференцијални равенки, кои најчесто се многу тешки за решавање. Всушност решенијата на овие равенки ги вклучуваат и  останатите различни појави во целото поле на [[класичен електромагнетизам|класичниот електромагнетизам]]. Детално разгледување на решенијата е надвор од здравиот разум, но можат да се дадат општи забелешки кои следат во продолжение.

Како и кај секоја диференцијална равенка, потребни се [[гранични услови]]<ref name=Monk>
{{cite book
 |author=Peter Monk
 |title=Finite Element Methods for Maxwell's Equations
 |page =1 ff
 |publisher=Oxford University Press
 |location=Oxford UK
 |isbn=0-19-850888-3
 |url=http://books.google.com/?id=zI7Y1jT9pCwC&pg=PA1&dq=electromagnetism+%22boundary+conditions%22
 |year=2003
}}</ref><ref name=Volakis>
{{cite book
 |author=Thomas B. A. Senior & John Leonidas Volakis
 |title=Approximate Boundary Conditions in Electromagnetics
 |page =261 ff
 |publisher=Institution of Electrical Engineers
 |location=London UK
 |isbn=0-85296-849-3
 |url=http://books.google.com/?id=eOofBpuyuOkC&pg=PA261&dq=electromagnetism+%22boundary+conditions%22
 |date=1995-03-01
}}</ref><ref name=Hagstrom>
{{cite book
 |author=T Hagstrom (Björn Engquist & Gregory A. Kriegsmann, Eds.)
 |title=Computational Wave Propagation
 |page =1 ff
 |publisher=Springer
 |location=Berlin
 |isbn=0-387-94874-0
 |url=http://books.google.com/?id=EdZefkIOR5cC&pg=PA1&dq=electromagnetism+%22boundary+conditions%22
 |year=1997
}}</ref> и [[почетни услови]]<ref name=Hussain>
{{cite book
 |author=Henning F. Harmuth & Malek G. M. Hussain
 |title=Propagation of Electromagnetic Signals
 |page =17
 |publisher=World Scientific
 |location=Singapore
 |isbn=981-02-1689-0
 |url=http://books.google.com/?id=6_CZBHzfhpMC&pg=PA45&dq=electromagnetism+%22initial+conditions%22
 |year=1994
}}</ref> за да се добие еднозначно решение. На пример, иако не постојат полнежи и струи каде и да било во врем-просторот, можни се бројни решенија на Максвеловите равенки, а не само очигледно решение {{math|1='''E''' = '''B''' = '''0'''}}. Друго решение е {{math|1='''E''' = constant}}, {{math|1='''B''' = constant}}, додека пак други решенија имаат електромагнетни бранови кои се простираат низ време-просторот. Во некои случаи, Максвеловите равенки се решаваат низ бесконечен простор, а граничните услови се дадени како асимптотни граници во бесконечноста.<ref name=Cook>
{{cite book
 |author=David M Cook
 |title=The Theory of the Electromagnetic Field
 |year=2002
 |page =335 ff
 |publisher=Courier Dover Publications
 |location=Mineola NY
 |isbn=0-486-42567-3
 |url=http://books.google.com/?id=bI-ZmZWeyhkC&pg=RA1-PA335&dq=electromagnetism+infinity+boundary+conditions
}}</ref> Во други случаи, Максвеловите равенки се решаваат само во конечни делови од просторот, со произволни  со произволни гранични услови за тој простор: На пример, граница може да биде [[перфектно вклопена обвивка|вештачка апсорбирачка граница]] која го претставува остатокот од универзумот,<ref name=Lourtioz>
{{cite book
 |author=Jean-Michel Lourtioz
 |title=Photonic Crystals: Towards Nanoscale Photonic Devices
 |page =84
 |publisher=Springer
 |location=Berlin
 |isbn=3-540-24431-X
 |url=http://books.google.com/?id=vSszZ2WuG_IC&pg=PA84&dq=electromagnetism+boundary++-element
 |date=2005-05-23
}}</ref><ref>S. G. Johnson, [http://math.mit.edu/~stevenj/18.369/pml.pdf Notes on Perfectly Matched Layers], online MIT course notes (Aug. 2007).</ref> или [[периодични гранични услови]], или (како што се [[брановод]]от или шуплинскиот [[резонатор]]) граничните услови можат да опишуваат ѕидови кои изолираат мал простор од случувањата во надворешниот свет.<ref name="  Mahmoud">
{{cite book
 |author=S. F. Mahmoud
 |title=Electromagnetic Waveguides: Theory and Applications applications
 |page =Chapter 2
 |publisher=Institution of Electrical Engineers
 |location=London UK
 |isbn=0-86341-232-7
 |url=http://books.google.com/?id=toehQ7vLwAMC&pg=PA2&dq=Maxwell%27s+equations+waveguides
 |nopp=true
 |year=1991
}}</ref>

[[Ефименкови равенки|Ефименковите равенки]] (или на нив блиските [[Лајнард–Вихертов потенцијал|Лајнард-Вихертови потенцијали]]) се експлицитните решенија на Максвеловите равенки за електричните и магнетни полиња создадени од дадена распределба на полнежи и струи. Се претпоставуваат одредени почетни услови за да се добијат  т.н. „заостанати решенија“, каде единствените присутни полиња се оние кои се создадени од понежите. Ефименковите равенки не се од помош во случаите кога полнежите и струите се самите под влијание на полињата кои ги создаваат.

[[нумерички парцијални диференцијални равенки|Нумерички методи за диференцијални равенки]] се користат кога Максвеловите равенки се решаваат приближно, не è можно точно решение. Овие методи најчесто побаруваат сметач, и се употребува [[метод на конечни елементи]] и [[метод на конечни разлики во временска област]].<ref name=Monk/><ref name=Hagstrom/><ref name= Kempel>
{{cite book
 |author=John Leonidas Volakis, Arindam Chatterjee & Leo C. Kempel
 |title=Finite element method for electromagnetics : antennas, microwave circuits, and scattering applications
 |year=1998
 |page =79 ff
 |publisher=Wiley IEEE
 |location=New York
 |isbn=0-7803-3425-6
 |url=http://books.google.com/?id=55q7HqnMZCsC&pg=PA79&dq=electromagnetism+%22boundary+conditions%22
}}</ref><ref name= Friedman>
{{cite book
 |author=Bernard Friedman
 |title=Principles and Techniques of Applied Mathematics
 |year= 1990
 |publisher=Dover Publications
 |location=Mineola NY
 |isbn=0-486-66444-9
 |url=http://www.amazon.com/Principles-Techniques-Applied-Mathematics-Friedman/dp/0486664449/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=books&qisbn=1207010487&sr=1-1
}}</ref><ref name=Taflove>
{{cite book
 |author=Taflove A & Hagness S C
 |title=Computational Electrodynamics: The Finite-difference Time-domain Method
 |year= 2005
 |page =Chapters 6 & 7
 |publisher=Artech House
 |location=Boston MA
 |isbn=1-58053-832-0
 |url=http://www.amazon.com/gp/reader/1580538320/ref=sib_dp_pop_toc?ie=UTF8&p=S008#reader-link
 |nopp=true
}}</ref> За повеќе информации, видете [[пресметковна електромагнетика]].

Максвеловите равенки ''наликуваат'' како да се [[преопределен систем|преопределени]], на овој начин тие вклучуваат 6 непознати (трите компоненти на {{math|'''E'''}} и {{math|'''B'''}}) но осум равенки (една за секој од Гаусовите закони, три векторски компоненти за секој Фарадеев и Амперов закон). (Струите и полнежите не сè непознати, тие се дел од теоријата на [[зачувување на полнежот|зачувувањето на полнежот]].) Ова е пповрзано со одредени ограничувачки вишоци во Максвеловите: може да се докаже дека секој систем кој им се покорува на Фарадеевиот и Амперовиот закон ''веднаш'' се покорува и на двата Гаусови закони, се додека почетниот услов на ситемот го прави истото.<ref>{{cite book|author=H Freistühler & G Warnecke |title=Hyperbolic Problems: Theory, Numerics, Applications |year=2001 |page=605 |url=http://books.google.com/books?id=XXX_mG0vneMC&pg=PA605#v=onepage&q&f=false}}</ref><ref>{{cite journal |title=Redundancy and superfluity for electromagnetic fields and potentials |journal=American Journal of Physics |author=J Rosen |volume=48 |issue=12 |page=1071 |doi=10.1119/1.12289|bibcode = 1980AmJPh..48.1071R }}</ref> Иако е можно едноставно да се занемарат двата Гаусови закони во нумеричкиот алгоритам (настрана од почетните услови), недобрата прецизност на пресметките ќе доведе до поголеми нарушувања на овие закони. Со воведување на фиктивни променливи кои ги опишуваат овие нарушувања, четирите равенки не се повеќе преопределени. Па добиените записи водат до попрецизни алгоритми кои се покоруваат на четирите закони.<ref>{{cite journal |title=The Origin of Spurious Solutions in Computational Electromagnetics |author=B Jiang & J Wu & L.A. Povinelli |doi=10.1006/jcph.1996.0082 |year=1996 |journal=Journal of Computational Physics |volume=125 |issue=1 |page=104|bibcode = 1996JCoPh.125..104J }}</ref>

==Ограничувања на теоријата на електромагнетизмот==
Додека Максвеловите равенки (заедно со остатокот од класичниот електромагнетизам) се доста успешни во објаснувањето на и предвидувањето на различни појави, тие не се точни,туку се приближни претпоставки. Во некои специјални случаи, тие се доста неточни. Примери за ова се крајно силните полиња (видете [[Ојлер–Хајзенбергов Лагранжова функција]]) и крајно малите растојанија (видете [[поларизација на вакуум]]). Како и различните појави кои се случуваат во светот а за кои Максвеловите равенки велат дека се невозможни, како на пример „[[некласична светлина]]“ и [[квантна преплетеност]] на електромагнетните полиња (видете [[квантна оптика]]). Конечно, секоја појава кој вклучува единични [[фотон]]и, како што се [[фотоелектричен ефект]], [[Планков закон]], [[Дуан–Хантов закон]], [[фотон лавинска диода|фотон-светлински детектор]], и.т.н., се тешки или невозможно е да се објаснат со употреба на Максвеловите равенки, бидејќи истите не се занимаваат со фотони. За подобри и попрецизни предвидувања на овие полиња се користи [[квантна електродинамика]].

==Варијации==
Познати варијации на Максвеловите равенки како класична теорија на електромагнетните полиња се малобројни бидејќи стандардните равенки се одржале до ден денес.

===Магнетни монополи===
{{Главна статија|Магнетен монопол}}
Максвеловите равенки тврдат дека постои [[електричен полнеж]], но не и [[магнетен полнеж]] (наречен [[магнетен монопол]]), во универзумот. И навистина, магнетен полнеж никогаш не е забележан (и покрај обемните истражувања)<ref group="белешка">Видете [[магнетен монпол]] за дискусија околу барањето на магнетниот монопол. Неодамна, научниците утврдија дека некои видови на кондензирана материја, како кај [[спинов мраз]] и [[тополошки изолатор]]и, кои како да покажуваат ''произлегувачко''однесување слично на магнетни монополи. (видете [http://www.sciencemag.org/cgi/content/abstract/1178868] и [http://www.nature.com/nature/journal/v461/n7266/full/nature08500.html].) Иако истите беа објавени во печатот како долго очекуваното откритие на магнетните монополи, тие се само наизглед поврзани. „Вистински“ магнетен монопол е појавата кога {{math|∇ ⋅ '''B''' ≠ 0}}, додека пак кај овие системи на кондензирана материја, {{math|1=∇ ⋅ '''B''' = 0}} и само {{math|∇ ⋅ '''H''' ≠ 0}}.</ref> и можно е да не постојат. Ака пак истите постојат, Гаусовиот закон за магнетизмот и Фарадеевиот закон ќе мора да претрпат промени, и добиените четири равенки би биле целосно симетрични при меѓусебна замена на електричните и магнетните полиња.<ref>{{cite book|author=J.D. Jackson|title=Classical Electrodynamics|edition=3rd|chapter=6.11|isbn=0-471-43132-X}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.ieeeghn.org/wiki/index.php/Maxwell%27s_Equations |title=IEEEGHN: Maxwell's Equations |publisher=Ieeeghn.org |date= |accessdate=2008-10-19}}</ref>

== Поврзано ==
* [[Алгебра на физичкиот простор]]
* [[Френелови равенки]]
* [[Гравитоелектромагнетизам]]
* [[Риманов–Силберштајнов вектор]]
* [[Време-просторна алгебра]]

==Белешки==
{{Reflist|group="белешка"|1}}

== Наводи ==
{{наводи|2}}

{{Релативност}}

{{Нормативна контрола}}

{{добра статија}}

[[Категорија:Максвелови равенки| ]]
[[Категорија:Електродинамика]]
[[Категорија:Електромагнетизам]]
[[Категорија:Равенки во физиката]]
[[Категорија:Парцијални диференцијални равенки]]
[[Категорија:Концепти во физиката]]