Преглед на кодот на Теореми за средна вредност

{{Анализа}}
'''Теореми за средна вредност''', име за четири [[Теорема|теореми]] кои во најопшта смисла ги поврзуваат својствата на [[Функција (математика)|функциите]] и нивниот [[извод]]. Преку овие теореми, најчесто, се врши практичната примена на диференцијалното сметање. Сите теореми носат име на познати математичари: [[Пјер Ферма]], [[Мишел Рол]], [[Жозеф Луј Лагранж]] и [[Огистен Луј Коши]].

== Теорема на Ферма ==
Теоремата на Ферма, или ''Прва теорема за средна вредност'', ја има следнава формулација:

* '''Нека <math>\ f(x)</math> е реална функција определена на интервалот <math>\ (a,b)</math> и нека во точката <math>\ x_0 \in (a,b)</math> има локален екстрем''' (локален минимум или локален максимум).''' Ако функцијата е диференцијабилна во точката <math>\ x_0</math>, тогаш <math>\ f^\prime (x_0) = 0</math>.'''

Имајќи го предвид значењето на првиот извод на функцијата во некоја точка, теоремата го има следново (неформално) толкување: во точките кои се екстреми на фунцијата, тангентата на графикот на функцијата е паралелна со <math>\ x</math>-оската.

=== Доказ ===
Прво да дефинираме локален екстрем на функција. Постојат два вида локални екстреми: локален минимум и локален максимум.

* '''Нека функцијата <math>\ f(x)</math> е определена на интервал <math>\ (a,b)</math>. За неа велиме дека има ''локален максимум'' во точка <math>\ x_1 \in (a,b)</math> ако за секој <math>\ x \in (a,b)</math> важи: <math>\ f(x) \le f(x_1)</math>. Соодветно, за <math>\ f(x)</math> велиме дека има ''локален минимум'' во точка <math>\ x_2 \in (a,b)</math> ако за секој <math>\ x \in (a,b)</math> важи: <math>\ f(x) \ge f(x_2)</math>.'''

Нека претпоставиме дека функцијата <math>\ f(x)</math> има локален максимум во точка <math>\ x_0 \in (a,b)</math>. Тогаш точно е:

: <math>\exists \delta >0, \forall x \in (x_0 - \delta,\, x_0 + \delta),\,\, f(x) \le f(x_0)</math>

Тогаш за <math>\ x \in (x_0,\, x_0 + \delta)</math>, важи: <math>\ f(x) - f(x_0) \le 0</math> и <math>\ x - x_0 \ge 0</math>. За изводот имаме:

: <math>\ f^\prime(x) = \lim_{x \to x_0^{+}} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \le 0\,\,\,\,\, (\star)</math>

Ако пак <math>\ x \in (x_0 - \delta,\, x_0)</math>, важи: <math>\ f(x) - f(x_0) \le 0</math> и <math>\ x - x_0 \le 0</math>, па во тој случај за изводот имаме:

: <math>\ f^\prime(x) = \lim_{x \to x_0^{-}} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \ge 0\,\,\,\,\, (\star\star)</math>

Бидејќи [[Гранична вредност на функција|лимесот]] <math>\ f^\prime(x) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}</math> постои (функцијата е диференцијабилна на целиот интервал), се добива дека постојат и левиот и десниот лимес во точката <math>\ x_0</math> и дека тие се еднакви; ова е единствено можно, согласно [[неравенство|неравенствата]] <math>(\star)</math> и <math>(\star\star)</math>, ако <math>\ f^\prime (x) = 0\,\,\, \blacksquare</math>

== Теорема на Рол ==
Теоремата на Рол, или Втора теорема за средна вредност, ја има следнава формулација:
* '''Нека функцијата <math>\ f(x)</math> е определена на интервалот <math>\ [a,b]</math> и диференцијабилна на <math>\ (a,b)</math> и нека <math>\ f(a) = f(b) = 0</math>. Тогаш постои точка <math>\ x \in (a,b)</math> таква што <math>\ f^\prime (x) = 0</math>.'''

Неформално може да се толкува на следниов начин: ако функција е определена на затворен интервал и диференцијабилна во сите освен можеби во крајните точки од интервалот, во кои пак има вредност еднаква на нула, тогаш таа сигурно има екстрем на тој интервал.

=== Доказ ===
Функцијата <math>\ f </math> е [[Непрекинатост на функција|непрекината]] на интервалот <math>\ [a,b]</math>, што значи дека постојат точки од интервалот во кои таа ги достигнува својата најмала и најголема вредност. Нека тие вредности ги означиме со <math>\ m </math> и <math>\ M</math> соодветно, т.е.

: <math>\ m = \inf_{x \in [a,b]} f(x)</math>

: <math>\ M = \sup_{x \in [a,b]} f(x)</math>

* Ако <math>\ m=M</math>, тогаш заради вредноста на функцијата во крајните точки имаме: <math>\ f(x) = 0</math> за секоја точка од интервалот, што значи дека <math>\ f^\prime (x) = 0</math>, од каде следи точноста на тврдењето.

* Ако <math>\ m < M</math>, тогаш е точно барем едно од следниве тврдења: или <math>\ m < 0</math> или <math>\ M > 0</math> (ако <math>\ M < 0</math>, тогаш сигурно и <math>\ m < 0</math>; ако пак <math>\ m > 0</math>, тогаш сигурно и <math>\ M > 0</math>).

Да претпоставиме <math>\ M > 0</math>. Тогаш заради непрекинатоста на <math>\ f</math>, постои точка <math>\ x_0 \in (a,b)</math> така што <math>\ M = f(x_0)</math>. Точката <math>\ x_0</math> не се наоѓа на крајот од интервалите, зашто тука функцијата по услов е еднаква на нула, додека <math>\ M = f(x_0)</math> под претпоставка е различен од нула. Сега избираме вредност <math>\ \delta = \min \{ \left | x-a \right | , \left | x-b \right | \}</math>. Тогаш на интервалот <math>\ \left ( x_0-\delta, x_0+\delta \right ) \subseteq (a,b)</math> функцијата <math>\ f</math> во точката <math>\ x_0</math> има локален максимум, па според Теоремата на Ферма следи дека: <math>\ f^\prime (x_0) = 0</math>; значи покажавме дека постои барем една точка од интервалот во која изводот на функцијата е нула. Истата постапка се применува и ако претпоставиме <math>\ m < 0</math>. <math>\,\,\, \blacksquare</math>

Дополнително, тврдењето од теоремата е точно и ако наместо условот <math>\ f(a)=0=f(b)</math>, исполнет е условот <math>\ f(a)=f(b)</math>.

== Теорема на Лагранж ==
Теорема на Лагранж, или Трета теорема за средна вредност, ја има следнава формулација:
* '''Нека функцијата <math>\ f(x)</math> е определена на интервалот <math>\ [a,b]</math> и диференцијабилна на <math>\ (a,b)</math>. Тогаш постои точка <math>\ c\in (a,b)</math> така што важи:'''
: <math>\ f(b) - f(a) = f^\prime (c)(b - a)</math>

или поинаку претставено:

: <math>\ f^\prime (c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>

Неформално може да се толкува на следниов начин: ако функција е определена на затворен интервал и диференцијабилна во сите освен можеби во крајните точки од интервалот, тогаш постои точка од внатрешноста на тој интервал во која тангентата на графикот на функцијата е паралелна со секантата на графикот на функцијата која минува низ крајните точки од интервалот.

'''Забелешка:''' името ''теорема за средна вредност'' најчесто се употребува конкретно за оваа теорема. Тоа, меѓутоа, иако е точно не треба да се меша со името на сите ''четири'' теореми за средна вредност!

=== Доказ ===
Доказот е малку поапстрактен од претходните. Нека се исполнети потребните услови: функцијата <math>\ f(x)</math> е определена на интервалот <math>\ [a,b]</math> и диференцијабилна на <math>\ (a,b)</math>. Специјално ја формираме функцијата

:<math>\ g(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)</math>

Функцијата е непрекината на интервалот <math>\ [a,b]</math> и диференцијабилна на интервалот <math>\ (a,b)</math> бидејќи е „изведена“ од функцијата <math>\ f(x)</math>, и дополнително важи: <math>\ g(a)=g(b)=0</math>. Тогаш, според Теоремата на Рол, постои точка <math>\ c \in (a,b)</math> така што <math>\ g^\prime (c) = 0</math>, т.е.

: <math>\ g^\prime (c) = f^\prime (c) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0</math>

Следи:

: <math>\ f^\prime (c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \,\,\,\,\, \blacksquare</math>

== Теорема на Коши ==
Теорема на Коши или Четврта теорема за средна вредност, ја има следнава формулација:
* '''Нека функциите <math>\ f(x)</math> и <math>\ g(x)</math> се определени на интервалот <math>\ [a,b]</math> и диференцијабилни на <math>\ (a,b)</math>. Тогаш постои точка <math>\ c\in (a,b)</math> така што важи:'''
: <math>\ \left ( f(b) - f(a) \right ) g^\prime (c) = \left ( g(b) - g(a) \right ) f^\prime (c)</math>.

или поинаку претставено:

: <math>\ \frac{f^\prime (c)}{g^\prime (c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}</math>

'''Забелешка:''' ако теоремата на Лагранж се нарекува Теорема за средна вредност, тогаш теоремата на Коши се нарекува ''Проширена теорема за средна вредност''.

=== Доказ ===
Ќе примениме слична постапка како при доказот на Теоремата на Лагранж. Нека ни се исполнети потребните услови: нека функциите <math>\ f(x)</math> и <math>\ g(x)</math> се определени на интервалот <math>\ [a,b]</math> и диференцијабилни на <math>\ (a,b)</math>. Специјално ја формираме функцијата:

: <math>\ h(x) = [f(b)-f(a)]\cdot g(x)-[g(b)-g(a)]\cdot f(x)</math>

Оваа функција е непрекината на интервалот <math>\ [a,b]</math> и диференцијабилна на интервалот <math>\ (a,b)</math> бидејќи е „изведена“ од функциите <math>\ f(x)</math> и <math>\ g(x)</math> и дополнително <math>\ h(a) = h(b)</math>. Тогаш според Теоремата на Рол, постои точка <math>\ c \in (a,b)</math> таква што <math>\ h^\prime (c)=0</math>. Тогаш:

: <math>\ h^\prime (c) = [f(b)-f(a)]\cdot g^\prime (c)-[g(b)-g(a)]\cdot f^\prime (c)=0</math>

од каде следи:

: <math>\ [f(b)-f(a)]\cdot g^\prime (c)=[g(b)-g(a)]\cdot f^\prime (c) \,\,\,\,\, \blacksquare</math>

== Интересно ==
Воочлив е фактот дека сите теореми носат име на некој француски математичар. Често пати на шега се именуваат како ''француски теореми''.
== Извори ==
* [http://pmfweb.pmf.ukim.edu.mk/mediawiki/index.php/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%84._%D0%B4%D1%80._%D0%9D%D0%B8%D0%BA%D0%B8%D1%82%D0%B0_%D0%A8%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B8 Шекутковски, Никита]: ''Математичка анализа I'', Просветно Дело, Скопје, 1996

[[Категорија:Средни вредности]]
[[Категорија:Математичка анализа]]