Преглед на кодот на Транслација (геометрија)

[[Податотека:translation_geometry.gif|right|frame|Транслација на четириаголникот ABCD за вектор ''v'' (креиран со Геогебра)]]
<div style="line-height:2em">
Во [[геометрија]]та, '''транслација''' на една фигура за даден [[вектор]] е паралелно поместување на фигурата така што секоја точка од фигурата се поместува за векторот (види анимацијата).<ref>{{cite web | url=http://web.cortland.edu/matresearch/OxfordDictionaryMathematics.pdf |title=Oxford Concise Dictionary of Mathematics, "Translation" | first1=C.|last1=Clapham|first2=J.|last2=Nicholson | publisher =Addison-Wesley | year =2009|page=787|language=англиски|accessdate=Септември 2013}}</ref>

'''Основна поставка:''' При транслација, фигурата ''не'' е ротирана, ''не'' е превртена, и ''не'' е растегната. Само се лизга паралелно.<ref>{{cite web | url=http://www.mathopenref.com/translate.html| title =Translate | publisher =Math Open Reference|year=2009|language=англиски|accessdate=Септември 2013}} интерактивен </ref>
</div>

[[Податотека:translation_geometry2.png|right|frame|Пресметување на координатите на фигура по транслација]]
==Означување и пресметување==
Често пати трансформацијата '''транслација за вектор ''v''''' се означува со: '''T<sub>''v''</sub>'''.

Во рамнина: нека F е множеството на сите точки на една геометриска фигура, a нека ''v''  е вектор со почетна точка P=(''x<sub>p</sub>'',''y<sub>p</sub>'') и крајна точка Q=(''x<sub>q</sub>'',''y<sub>q</sub>''). 

Го формираме соодветниот [[радиус-вектор]] ''r''<sub>v</sub> на ''v'', т.е. ''r'' е вектор со почетна точка (0,0) и крајна точка R=Q-P:
:<math>\vec{r}_v=</math>  &nbsp;каде што&nbsp;  <math>r_x=x_q-x_p</math>  &nbsp;и&nbsp; <math>r_y=y_q-y_p</math>&nbsp;, т.е. крајната точка на ''r'' e &nbsp; <math>R=(r_x,r_y)</math> &nbsp;.
Тогаш: 
:<math>T_v(F)=F+(r_x,r_y)=F+R=F' \,,</math> <math>\,\,\,\,F'= \{(x+r_x,y+r_y)|(x,y)\in F \} </math>.



'''Пример:''' Нека F е триаголникот со темињата A=(2,0), B=(6,-2), C=(4,3) и ''v'' нека е векторот со почетна точка P=(1,4) и крајна точка Q=(4,8). Тогаш  
:<math>\vec{r}_v=<4-1,8-4>=<3,4></math>  &nbsp;,&nbsp; <math>R=(3,4)</math> &nbsp;и&nbsp;  <math>F'=T_v(F)</math> &nbsp;е триаголникот со темињата: A'=(2,0)+(3,4)=(5,4), B'=(6,-2)+(3,4)=(9,2), C'=(4,3)+(3,4)=(7,7) (види слика).


==Особини на транслација==
Транслација како трансформацијата ги има следните особини:<ref>{{cite web | url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Translation.shtml|title=Translation Transform|Publisher=Cut-the-Knot|last=Bogomolny|first=A.|year =2010|language=англиски|accessdate=Септември 2013}} интерактивeн</ref>
* Транслација е т.н. '''крута трансформација''', т.е. по транслација, фигурата останува со иста големина и образ. Другите две крути трансформации се [[ротација]] и [[рефлексија]].
* Tранслацијата на една геометриска фигура и самата фигура се [[складност|складни]] фигури.
* По транслација, сите должини (растојанија) на фигурата остануваат непроменети, т.е. транслација е [[изометрија]].
* По транслација, сите агли на фигурата остануваат непроменети.
* По транслација, ориентацијата на фигурата не е променета. На пример, доколку темињата на еден многуаголник се означени во правецот на часовникот, тогаш темињата на неговата транслација остануваат во правецот на часовникот.
* По транслација, паралелни прави сè уште се паралелни и соодветните страни (отсечки) на една фигура и нејзината транслација се паралелни.
* Две последователни транслации се повторно транслација: T<sub>u</sub>T<sub>v</sub>=T<sub>u+v</sub>.
* Транслацијата е комутативна трансформација, т.е. T<sub>u</sub>T<sub>v</sub>=T<sub>v</sub>T<sub>u</sub>.
* Инверзната транслација на Т<sub>''v''</sub> е Т<sub>''-v''</sub> каде што ''-v'' е вектор со истата должина и правец како ''v'', а обратна насока, т.е. Т<sub>''v''</sub>+Т<sub>''-v''</sub>=Т<sub>0</sub> (нема поместување).


==Обопштување==
Нека ''v'' е вектор во [[Евклидов простор]] &#8477;<sup>n</sup>, a ''r'' нека е соодветниот радиус-вектор со крајната точка R.
*Транслација на &#8477;<sup>n</sup> за ''v'' може да се разгледа како поместување на координатниот почеток во точката R.
**На пример, за ''n''=3, ако A е произволна точка, Т<sub>''v''</sub>(A)=A+R. Ова важи и за A=(0,0,0) така што Т<sub>''v''</sub>((0,0,0))=R.


==Претставување на транслација со матрици==
Секоја транслација T<sub>''v''</sub> за вектор ''v'' може да се претстави со т.н. транслациона матрица.  
 
Множење на матрица со матрица-од-точка секогаш ја пресликува координатниот почеток во координатниот почеток. Меѓутоа, има стандарден начин како да се избегне ова.<ref>{{cite book|last=Richard| first=Paul| year=1981| url=http://books.google.com/books?id=UzZ3LAYqvRkC&printsec=frontcover&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false| title=Robot manipulators: mathematics, programming, and control: the computer control of robot manipulators|publisher= MIT Press, Cambridge, MA|isbn=978-0262160827}}</ref> 

Нека ''v'' е вектор во Евклидов простор &#8477;<sup>3</sup>, a r=&lt;''r''<sub>x</sub>,''r''<sub>y</sub>,''r''<sub>z</sub>&gt; нека е соодветниот радиус-вектор. Ја формираме 4х4 '''транслациона матрица''': 
: <math> T_{\mathbf{v}} = 
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & r_x \\
0 & 1 & 0 & r_y \\
0 & 0 & 1 & r_z \\
0 & 0 & 0 & 1 
\end{bmatrix}
</math>
Потоа, нека A=(a<sub>x</sub>,a<sub>y</sub>,a<sub>z</sub>) е произволна точка. Формираме проширена матрица-од-точка, односно 4х1 матрица: 
: <math>
\mathbf{A}=
\begin{bmatrix}
a_x \\ a_y \\ a_z \\ 1
\end{bmatrix}
</math>
Тогаш:
: <math>
T_{\mathbf{v}} \mathbf{A} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & r_x \\
0 & 1 & 0 & r_y\\
0 & 0 & 1 & r_z\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a_x \\ a_y \\ a_z \\ 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_x + r_x \\ a_y + r_y \\ a_z + r_z \\ 1
\end{bmatrix}
</math>
Значи, (како што треба) имаме:
:<math>T_v(A)=A+R=(a_x + r_x \,,\, a_y + r_y \,,\, a_z + r_z) </math>


==Наводи==
{{наводи}}


== Поврзани теми ==
* [[Складност]]
* [[Ротација]]
* [[Рефлексија]]
* [[Изометрија]]


== Надворешни врски ==
*{{cite web|url=http://www.emathforall.com/wiki/RecnikT/Translacija |last1=Стојановска|first1=Л.|title=Транслација|year=2013|language=македонски|accessdate=септември 2013}} интерактивен
*{{cite web|url=http://wiki.geogebra.org/mk/Транслација_Наредба| title=Геогебра наредба: Транслација |author=Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод)|year=2013|language=македонски|accessdate=септември 2013}} 
*{{cite web|url=http://wiki.geogebra.org/mk/Транслација_на_објект_за_вектор_Алатка| title=Геогебра алатка: Транслација на објект за вектор |author=Geogebra Institute и Институт за Геогебра на МКД (превод)|year=2013|language=македонски|accessdate=септември 2013}}
*{{cite web|url=http://www.hck12.net/Teachers/VHS/arnoldl/NG/NG7_1.PDF| title=Rigid Motion in the Plane |last=Arnold|first=Lance|year=2013|language=англиски|accessdate=септември 2013}}  
*{{cite web|url=http://www.geogebratube.org/student/m27027|title=Rigid Motion in the Plane|publisher=GeoGebraTube|year=2013|last1=Zuidema|first1=M.|language=англиски|accessdate=септември 2013}} интерактивен

{{Портал|Математика}}

{{Нормативна контрола}}
[[Категорија:Многуаголници]]
[[Категорија:Елементарна геометрија]]
[[Категорија:Геометриски фигури]]
[[Категорија:Геометрија]]
[[Категорија:Математичко образование]]