1 − 2 + 3 − 4 + …

1 − 2 + 3 − 4 + ... — бесконечен ред во математиката, чиишто членови се последователни позитивни броеви со променлив знак. Сумата на првите m членови од редот може да се запише како:

\sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}.

Овој бесконечен ред дивергира, што значи дека неговата низа од делумни суми, Предлошка:Nowrap, не тежнее кон било која гранична вредност. Сепак, во средината на 18. век, Леонард Ојлер го запишал следново, коешто го окарактеризирал како парадоксално:

1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.

Математички метод, употребен за да се објасни ваквото равенство, бил развиен многу подоцна. Почнувајќи во 1890 година, Ернесто Чезаро, Емил Борел и други математичари строго ги испитувале постоечките методи за утврдување на сумата на дивергентните редови, вклучувајќи и нови толкувања на Ојлеровите обиди. Многу од овие методи за пресметка на сумата на редот Предлошка:Nowrap лесно доведуваат до решение еднакво на Предлошка:Frac. Сумирањето по Чезаро е еден од неколкуте методи коишто не врши сумирање на Предлошка:Nowrap, така што редот е пример за којшто е потребен многу поприкладен метод, како на пример Абеловото сумирање.

Редот 1 − 2 + 3 − 4 + ... е многу сличен на Грандиевиот ред Предлошка:Nowrap. Ојлер овие редови ги сметал за посебни случаи од видот на редот Предлошка:Nowrap, којшто го проучувал за произволно n работејќи на Базелскиот проблем и притоа добил функционални равенки, денес познати како Дирихлеова ета-функција и Риманова зета-функција.

Дивергенција

Членовите на редот 1, −2, 3, −4, ... не тежнеат кон 0, па затоа Предлошка:Nowrap дивергира според примена на тестот на општ член. За понатамошо разгледување, корисно би било да се утврди дивергенцијата на основно ниво. По дефииниција, конвергенцијата или дивергенцијата на еден бесконечен ред е условена од конвергенцијата или дивергенцијата на неговите низи од делумни суми. Според тоа, делумните суми на редот Предлошка:Nowrap се:^[1]

1 = 1,

1 − 2 = −1,

1 − 2 + 3 = 2,

1 − 2 + 3 − 4 = −2,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

...

Оваа низа е важна поради присуството на секој цел број по еднаш, дури и 0 ако се брои празната делумна сума, и со тоа воспоставувањето на броивост на членовите од множеството на целите броеви $\mathbb {Z}$ .^[2] Низата од делумни суми јасно покажува дека редот не конвергира кон одреден број (за секоја гранечна вредност x, може да се најде член, после којшто сите последователните делумни суми се надвор од интервалот [x-1, x+1]), па според тоа Предлошка:Nowrap дивергира.

Хеуристика за сумирање

Стабилност и линеарност

Бидејќи членовите 1, −2, 3, −4, 5, −6, ... следат проста законитост, редот Предлошка:Nowrap е можно да се преобрази преку преместување и додавање на член по член, со цел да му се припише некое нумеричко значење. Ако изразот Предлошка:Nowrap за некој зададен број s има смисол, тогаш следните формални преобразби наведуваат на тоа дека Предлошка:Nowrap^[3]

{\begin{array}{rclllll}4s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}-1+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+[&(1-2-2+3)&{}+(-2+3+3-4)&{}+(3-4-4+5)&{}+(-4+5+5-6)+\cdots ]\\&=&1+[&0+0+0+0+\cdots ]\\4s&=&1.\end{array}}

Поради тоа, $s={\frac {1}{4}}$ . Ова изведување е графички претставено на цртежот од десната страна.

Иако 1 − 2 + 3 − 4 + ... нема сума во обичен смисол, равенството Предлошка:Nowrap дава најдобар одговор на тоа дали таква сума може да се одреди. Воопштеното определување на „сумата“ на дивергентен ред се нарекува метод на сумирање, којшто овозможува пресметување на сума на неколку подмножества од сите можни редови. Постојат бројни методи за воопштено сумирање на редовите (некои од нив се опишани подолу), коишто содржат и некои од својствата на обичното сумирање на редови. Всушност, погоре беше докажано следново: Со примена на било кој метод за сумирање којшто е линеарен и стабилен и овозможува да се пресмета сумата на редот, пресметаната сума изнесува Предлошка:Frac. Понатаму, бидејќи:

{\begin{array}{rcllll}2s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+&(1-2+3-4+\cdots )\\&=&1+&(-2+3-4+\cdots )&{}+1-2&+(3-4+5\cdots )\\&=&0+&(-2+3)+(3-4)+(-4+5)+\cdots \\2s&=&&1-1+1-1\cdots \end{array}}

примената на овој метод нуди решение и за пресметка на сумата на Грандиевиот ред, Предлошка:Nowrap

Кошиев призвод

Во 1891, Ернесто Чезаро изразил надеж дека дивергентните редови ќе бидат вклучени во калкулусот, укажувајќи на следново: Предлошка:Cquote

За Чезаро, ова равенство било примена на теоремата којашто ја објавил една година преттоа и којашто може да се смета за прва теорема во историјата на сумирањето на дивергентните редови. Детали од овој метод на сумирање се прикажани подолу; основната идеја се состои во тоа што Предлошка:Nowrap е Кошиев производ на Предлошка:Nowrap и Предлошка:Nowrap.

Кошиевиот производ од два бесконечни реда е определен, па дури и двата реда да се дивергентни. Во случај кога Σa_n = Σb_n = Σ(−1)ⁿ, членовите од Коишевиот производ се добиваат од конечната дијагонална сума:

{\begin{array}{rcl}c_{n}&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}(-1)^{n-k}\\[1em]&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n}=(-1)^{n}(n+1).\end{array}}

Тогаш, производот од редот изнесува:

\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\cdots .

На тој начин, методот за сумирање којшто го содржи Кошиевиот прооизвод на два реда и дава сума Предлошка:Nowrap исто така ја дава и сумата Предлошка:Nowrap. Со резултатот добиен во претходниот дел, ова подразбира еквивалентност меѓу сумирањето на Предлошка:Nowrap и Предлошка:Nowrap со метои коишто се линеарни, стабилни и го содржат Кошиевиот производ.

Теоремата на Чезаро е префинет пример. Редот Предлошка:Nowrap може да биде сумиран по Чезаро и е наречен Предлошка:Nowrap додека Предлошка:Nowrap бара подлабока примена на теоремата на Чезаро^[4]^[5] и се нарекува Предлошка:Nowrap Бидејќи сите облици на Чезаровската теорема се линеарни и стабилни, вредностите од сумите се оние коишто веќе се пресметани.

Посебни методи

Чезаро и Хелдер

За да се пресмета сумирањето по Чезаро (C, 1) за 1 − 2 + 3 − 4 + ..., ако тоа постои, најпрво е неопходно да се пресмета аритметичката средина од делумните суми од редот. Делумните суми се:

1, −1, 2, −2, 3, −3, ...,

а аритметичките срединиод овие делумни суми:

1, 0, Предлошка:Frac, 0, Предлошка:Frac, 0, Предлошка:Frac, ....

Оваа низа од средини не конвергира, па така 1 − 2 + 3 − 4 + ... не може да се сумира по Чезаро.

Постојат две познати воопштувања на сумирањето по Чезаро: концептуално попросто од нив е низата од методи (H, n) за природни броеви n, акде што сумата (H, 1) е сума по Чезаро, а понатамошните методи ја повторуваат пресметката на средини. Во примерот погоре, парните средни вредности конвергираат до Предлошка:Frac, додека сите непарни средни вредности се еднакви на 0; според тоа, средните вредности од средините конвергираат до средната вредност меѓу 0 и Предлошка:Frac, т.е. до Предлошка:Frac.^[6]^[7] Така, редот Предлошка:Nowrap има сума (H, 2) во износ од Предлошка:Frac.

Буквата „H“ претставува кратенка од презимето на Ото Хелдер, којшто во 1882 година прв го докажал она коешто математичарите денес го сметаат за врска меѓу Абеловото сумирање и сумирањето (H, n). Редот Предлошка:Nowrap бил првиот пример којшто го употребил за таа цел.^[8] Фактот што Предлошка:Frac е сума (H, 2) од Предлошка:Nowrap потврдува дека станува збор за Абелова сума; ова е директно докажано подолу.

Другото често формулирано воопштување на сумирањето по Чезаро е низата од методи (C, n). Веќе беше докажано дека сумирањето (C, n) и сумирањето (H, n) секогаш даваат ист резултат, но тие всушност имаат различна историска позадина. Во 1887 година, Чезаро бил блиску до определувањето на сумирањето (C, n), но тој дал само неколку примери. Подробно, тој ја пресметал сумата на Предлошка:Nowrap во износ од Предлошка:Frac со примена на метод којшто може да се преформулира како (C, n), но во тоа време не бил познат како таков. Тој формално ги определил методите (C, n во 1890 година, со цел да даде поткрепа на неговата теорема дека Кошиевиот производ од ред со сума (C, n) и ред со сума (C, m) е еднаков на сумата (C, m + n + 1).^[9]

Абелово сумирање

Во извештај од 1749 година, Леонард Ојлер признал дека редот дивергира, но во секој случај е подготвен да ја пресмета неговата сума:

Предлошка:Cquote

Ојлер предложил воопштување на поимот „сума на ред“ неколку пати. Во случајот со Предлошка:Nowrap неговите идеи се слични со она што денес е познато како метод за сумирање по Абел:

Предлошка:Cquote

Постојат многу начин на коишто може да се воочи дека најмалку за апсолутните вредности |x| < 1, Ојлер е во право дека:

1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}.

Можно е да се изврши развој на десната страна во Тејлоров ред или да се примени формалниот процес на делење на полиноми. Започнувајќи од левата страна, може да се следи општата хеуристика прикажана погоре и двапати да се помножи по (1+x) или да се изврши коренување на гемоетрискиот ред Предлошка:Nowrap Ојлер, исто така, предложил диференцирање на последниот ред член по член.^[10]^[11]

Од современа гледна точка, редот 1 − 2x + 3x² − 4x³ + ... не определува функција во точката Предлошка:Nowrap така што вредноста не може едноставно да се замени во добиениот израз. Поради тоа што функцијата е определена за сите Предлошка:Nowrap, може да се пресмета гранична вредност за x којшто тежнее кон 1, што всушност претставува дефиниција за Абеловата сума:

\lim _{x\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=1}^{\infty }n(-x)^{n-1}=\lim _{x\rightarrow 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}.

Ојлер и Борел

Ојлер применил и друг метод за овој ред, познат како Ојлерова трансформација, што претставува еден од неговите изуми. За да се пресмета Ојлеровата трансформација, потребно е да се започне со низа од позитивни членови — во случајов со Предлошка:Nowrap Првиот член од оваа низа е означен како a₀.

Понатаму, потребно е да се пресмета конечната разлика меѓу членовите од низата Предлошка:Nowrap, што е еднакво на Предлошка:Nowrap Првиот член од оваа низа е означен како Δa₀. Сепак, Ојлеровата трансформација зависи и од разликите од разликите, но сите понатамошни разлики од членовите во низата Предлошка:Nowrap се еднакви на 0. Во тој случај, Ојлеровата трансформација за редот Предлошка:Nowrap е определена како:

{\frac {1}{2}}a_{0}-{\frac {1}{4}}\Delta a_{0}+{\frac {1}{8}}\Delta ^{2}a_{0}-\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}.

Во современата терминологија, се вели дека Предлошка:Nowrap може да се сумира по Ојлер и притоа да се добие сума еднаква на Предлошка:Frac.

Сумирањето по Ојлер подразбира постоење на уште еден вид на сумирање. Претставувањето на редот Предлошка:Nowrap како:

\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(k+1)

доведува до конвергентен ред во секоја точка, којшто може да се запише како:

a(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+1)x^{k}}{k!}}=e^{-x}(1-x).

Поради тоа, Бореловата сума на редот 1 − 2 + 3 − 4 + ... може да се пресмета како^[12]

\int _{0}^{\infty }e^{-x}a(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-2x}(1-x)\,dx={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}.

Поделба на скалите

Саичев и Војчински дошле до решението Предлошка:Nowrap по пат на примена на два физички принципи: смалување на бесконечно мали и поделба на скалите. Ппрецизно, овие принципи водат кон определување на широко семејство на „методи за φ-сумирање“, од коишто сите даваат сума еднаква на Предлошка:Frac:

Ако φ(x) е функција чијшто прв и втор извод се непрекинато интеграбилни во интервалот (0, ∞), при што φ(0) = 1 и граничните вредности од φ(x) и xφ(x) за +∞ се еднакви на 0, тогаш:^[13]

\lim _{\delta \rightarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}.

Овој резултат претставува воопштување на Абеловото сумирање, коешто се добива со воведување на замената φ(x) = exp(−x). Општото тврдење може да се докажи преку групирање на членовите од редот во парови по m и преобразувањео на изразот во Риманов интеграл. Во однос на последниот чекор, доказот за Предлошка:Nowrap содржи примена на Лагранжовата теорема за средна вредност, но во овој случај е потребна примена на понапреден Лагранжов облик на Тејлоровата теорема.

Воопштувања на редот

Трикратниот Кошиев производ на редот Предлошка:Nowrap изнесува Предлошка:Nowrap т.е. алтернативен ред од триаголни броеви, чијашто Абелова и Ојлерова сума е еднаква на Предлошка:Frac.^[14] Четирикратниот Кошиев производ, пак, од редот Предлошка:Nowrap изнесува Предлошка:Nowrap што претставува алтернативен ред од тетраедални бреови, чијшто збир е еднаков на Предлошка:Frac.

Друго воопштување на 1 − 2 + 3 − 4 + ... на малку поразличен начин е редот Предлошка:Nowrap за други вреднсти на n. Во случај n да има вредност на позитивен број, редовите од овој облик ги имаат следниве Абелови суми:^[15]

1-2^{n}+3^{n}-\cdots ={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}}B_{n+1}

каде што B_n се Бернулиеви броеви. Кога n е парен број, равенството се сведува на:

1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots =0.

Последната сума станала предмет на потсмен од страна на Абел, којшто во 1826 година запишал: Предлошка:Cquote

Учителот на Чезаро, Ежен Шарл Каталан, исто така ги потценувал дивергентните редови. Под негово влијание, Чезаро „условните формули“ за Предлошка:Nowrap најпрво ги карактеризирал како „апсурдни равенства“ и во 1893 година изразил мислење дека формулите се грешни, но сепак пости начин на којшто може да бидат формално полезни. Конечно, во неговото дело Sur la multiplication des séries од 1890, Чезаро применил современ пристап, започнувајќи со дефиниции.^[16]

Редовите се предмет на проучување и за нецели вредности на n, коишто ја сочинуваат Дирихлеовата ета функција. Дел од котивацијата на Ојлер за изучување на редовите поврзани со редот Предлошка:Nowrap била функционалната равенка за ета-функцијата, којашто директно води до функционалната равенка за Римановата зета-функција. Ојлер веќе бил познат за наоѓањето на вредностите на овие функции како позитивни парни броеви (вклучувајќи го и Базелскиот проблем), а се обидувал да ги пронајде вредностите и за позитивните непарни броеви (вклучувајќи ја Апериевата константа), птоблем којшто останал нерешен и неразјаснет и до денес. Со методите на Ојлер е полесно да се работи со ета-функцијата, поради тоа што Абеловата сума од нејзиниот Дирихлеов ред може да се пресмета насекаде. Од друга страна, сумата на Дирихлеовиот ред на зета-функцијата може да се пресета многу потешко онаму каде што дивергира.^[17] Така на пример, редот Предлошка:Nowrap во зета-функција соответствува на неалтернативниот ред Предлошка:Nowrap, којшто има длабока примена во современата физика, но бара примена на многу посилни методи за пресметка на неговата сума.

Поврзано

Наводи

Предлошка:Наводи

Користена литература

Предлошка:Избрана

↑ Hardy стр. 8
↑ Beals стр. 23
↑ Hardy (стр. 6) го користи ова изведување во враска со проценувањето на вредноста на Грандиевиот ред Предлошка:Nowrap.
↑ Hardy, стр. 3
↑ Weidlich, стр. 52–55.
↑ Hardy, стр. 9.
↑ Weidlich, стр. 17–18.
↑ Ferraro, стр. 118; Tucciarone, стр. 10. Ferraro го критикува објаснувањето на Tucciarone (стр. 7) за резултат на Хелдер, но објаснувањата на двајцата автори за Хелдеровото решавање на 1 − 2 + 3 − 4 + ... се исти.
↑ Ferraro, стр. 123–128.
↑ На пример, Lavine (стр. 23) се залага за долга поделба, но истата не ја спроведува.
↑ Vretblad (стр. 231) врши пресметка на Кошиевиот производ. Советот на Ојлер е нејасен (Euler et al., стр. 3, 26.), а Baez дури предложува примена на категорично-теоретски метод, којшто вклучува множење на точковни множества и квантен хармонички осцилатор (Baez, John C. Euler's Proof That 1 + 2 + 3 + ... =-1/12 (PDF). math.ucr.edu, 19 декември 2003.).
↑ Weidlich стр. 59
↑ Saichev and Woyczyński, стр. 260–264.
↑ Kline, стр. 313.
↑ Knopp, стр. 491; во Hardy, стр. 3 се чини дека постои грешка на истото ова место.
↑ Ferraro, стр. 120–128.
↑ Euler et al., стр. 20–25.

[1] Hardy стр. 8

[2] Beals стр. 23

[3] Hardy (стр. 6) го користи ова изведување во враска со проценувањето на вредноста на Грандиевиот ред Предлошка:Nowrap.

[4] Hardy, стр. 3

[5] Weidlich, стр. 52–55.

[6] Hardy, стр. 9.

[7] Weidlich, стр. 17–18.

[8] Ferraro, стр. 118; Tucciarone, стр. 10. Ferraro го критикува објаснувањето на Tucciarone (стр. 7) за резултат на Хелдер, но објаснувањата на двајцата автори за Хелдеровото решавање на 1 − 2 + 3 − 4 + ... се исти.

[9] Ferraro, стр. 123–128.

[10] На пример, Lavine (стр. 23) се залага за долга поделба, но истата не ја спроведува.

[11] Vretblad (стр. 231) врши пресметка на Кошиевиот производ. Советот на Ојлер е нејасен (Euler et al., стр. 3, 26.), а Baez дури предложува примена на категорично-теоретски метод, којшто вклучува множење на точковни множества и квантен хармонички осцилатор (Baez, John C. Euler's Proof That 1 + 2 + 3 + ... =-1/12 (PDF). math.ucr.edu, 19 декември 2003.).

[12] Weidlich стр. 59

[13] Saichev and Woyczyński, стр. 260–264.

[14] Kline, стр. 313.

[15] Knopp, стр. 491; во Hardy, стр. 3 се чини дека постои грешка на истото ова место.

[16] Ferraro, стр. 120–128.

[17] Euler et al., стр. 20–25.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

1 − 2 + 3 − 4 + …

Содржина

Дивергенција